Решение уравнений в целых числах (стр. 6 из 8)
где
и 
целые, - нечетное число и 
, 
. Решая эти две системы уравнений относительно 
и 
и находя 
, мы получаем или 
, 
, 
или , 
, ,где
нечетно. Объединяя эти две формы представления решения 
, , 
мы получаем общую формулу 
, , ,где
нечетно. Но для того чтобы 
и были целыми числами, необходимо, чтобы 
было четным. Полагая 
и 
, мы получим окончательно общие формулы, дающие все решения уравнения (19) в целых положительных без общего делителя, большего 1, числах , , 
: 
,
, 
, (19')где 
и 
положительны, взаимно просты и нечетно. При этих условиях величины
и 
выбираются произвольно, но так, чтобы было положительно. Формулы (19') действительно дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах , , , так как, с одной стороны, мы доказали, что , , в этом случае должны представляться по формулам (19'), а с другой стороны, если мы зададим числа и , удовлетворяющие нашим условиям, то , , будут действительно взаимно просты и будут решением уравнения (19).4. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
В этом пункте мы докажем, что при любом целом положительном
и иррациональном 
уравнение
(20)всегда имеет нетривиальное решение, другими словами существует пара целых чисел
и 
; 
, которая ему удовлетворяет. Прежде всего, укажем прием, позволяющий разложить в цепную дробь произвольное положительное число. Пусть 
- любое положительное число. Тогда всегда существует целое число, которое будет меньше или равно и больше 
. Такое целое число носит название целой части и обозначается 
. Разность между и его целой частью называется дробной частью числа и обозначается 
. Из определений целой части и дробной части числа 
непосредственно следует соотношение между ними, именно: 
или
. (21)Так как дробная часть числа есть разность между положительным числом и наибольшим целым числом, его не превосходящим, то дробная часть числа всегда меньше единицы и неотрицательна. Например, целая часть
есть 5, а дробная его часть есть 
, целая часть 
есть 1, а дробная часть равна 
; целая часть 
равна 3, а дробная часть равна 
, и т. д.Введенное нами определение целой части и дробной части положительного числа
может быть использовано для разложения этого числа в цепную дробь. Положим: 
, 
.Тогда
.Так как
всегда меньше единицы, то 
всегда больше единицы. Если бы было само целым числом, то его дробная часть равнялась бы нулю, было бы равно бесконечности и мы имели бы равенство 
. Отвлекаясь от этого частного случая, который исключается тем, что мы разлагаем в непрерывную дробь иррациональное число, мы можем утверждать, что - положительное число, большее единицы. С этим числом мы поступаем так же, как и с , и пишем равенство 
, 
, 