Решение уравнений в целых числах (стр. 4 из 8)
(9)Вернемся теперь к решению уравнения
, 
(10)Перепишем соотношение (9) в виде
.Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим
Умножим это соотношение на
. Тогда 
Отсюда следует, что пара чисел
,
, 
, (11)является решением уравнения (10) и согласно теореме все решения этого уравнения имеют вид
, 
Полученный результат полностью решает вопрос о нахождении всех целочисленных решений уравнения первой степени с двумя неизвестными. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых уравнений второй степени.
3. ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
П р и м е р I. Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными:
(12)Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т. е. прямоугольных треугольников, у которых и катеты
, 
и гипотенуза 
выражаются целыми числами.Обозначим через
общий наибольший делитель чисел 
и : 
. Тогда 
, 
,и уравнение (12) примет вид
.Отсюда следует, что
делится на 
и, значит, кратно : 
.Теперь уравнение (12) можно записать в виде
;сокращая на
, получим 
.Мы пришли к уравнению того же вида, что и исходное, причем теперь величины
и 
не имеют общих делителей, кроме 1. Таким образом, при решении уравнения (12) можно ограничиться случаем, когда и взаимно просты. Итак, пусть 
. Тогда хотя бы одна из величин и (например, ) будет нечетной. Перенося 
в правую часть уравнения (12), получим
; 
. (13)Обозначим через
общий наибольший делитель выражений 
и 
. Тогда
, 
, (14)где
и 
взаимно просты.Подставляя в (13) значения
и 
, получим 
.Так как числа
и не имеют общих делителей, то полученное равенство возможно только в том случае, когда и будут полными квадратами: 
, 
.Но тогда
и
(15)Найдем теперь
и из равенств (14). Сложение этих равенств дает:
; 
. (16)Вычитая второе из равенств (14) из первого, получим
; 
(17)В силу нечетности
из (15) получаем, что 
, 
и также нечетны. Более того, 
, так как иначе из равенств и 
следовало бы, что величины
и имеют общий делитель 
, что противоречит предположению об их взаимной простоте. Числа и связаны с взаимно простыми числами и 
равенствами 
, и в силу этого сами взаимно просты;
, так как 
, что ясно из равенств (14).