Упорядоченные множества (стр. 6 из 8)
Пусть (x·y)·z 
Ø т.к. х 
а, то либо х = с
х = в1) пусть х = с, тогда у = в 
у = с
а) пусть у = в, тогда z = a
(с·в)·а Ø с·(в·а) определено
(с·в)·а = с·(в·а) равенство выполняется
б) пусть у = с, тогда z = в
z = са’) если z = в , тогда
(с·с)·в Ø с·(с·в) определено
(с·с)·в = с·(с·в) равенство выполняется
б’) если z = с, тогда
(с·с)·с 
Ø с·(с·с) определено
(с·с)·с = с·(с·с) равенство выполняется
2) пусть х = в, тогда у = а , а z = в
z = cа) если у = а и z = в
(в·а)·в Ø= в·(а·в) не определено
(в·а)·в в·(а·в) равенство не выполняется
б) пусть у = а и z = с
(в·а)·с Ø= в·(а·с) не определено
(в·а)·с в·(а·с) равенство не выполняется
Итак, по определению, частичный группоид не является сильно ассоциативным . Но это еще не означает, что (S ; · ) не является слабо ассоциативным.
Выясним это.
Пусть (x·y)·z Ø
x·(y·z) Ø .При х а, у а, а именно, когда
х = в х = с
у = в у = с
этот частичный группоид является слабо ассоциативным.
Пример 4.
Пусть А = {a, в,с}, можно задать на А следующую таблицу Кэли. Получим некоторый частичный группоид. Проверим будет ли этот группоид средне ассоциативным.
| • | a | в | с |
| а | с | а | ─ |
| в | |||
| с | а | а | ─ |
Пусть (x·y)·z Ø т.к. х в, тогда х = а
х = с1) пусть х = а, тогда у = а у = в
а) пусть у = а, тогда z = a, z = в
а’) если z = а , тогда
(а·а)·а Ø а·a определено
(а·а)·а 
а·(а·a) равенство не выполняется
б’) если z = в, тогда
(а·а)·в 
Ø а·в определено
(а·а)·в а·(а·в) равенство не выполняется
Отсюда, мы видим, что группоид не является средне ассоциативным. Выясним является ли он слабо ассоциативный.
Пусть (x·y)·z Ø
x·(y·z) Ø, т.к. х в, тогда х = а 
х = с1) пусть х = а, тогда у = а у = в
а) пусть у = а, тогда z = a, z = в
а’) если z = а , тогда
(а·а)·а Ø= а·(а·a) не определено
(а·а)·а а·(а·a)
б’) если z = в, тогда
(а·а)·в Ø а·(а·в) определено
(а·а)·в = а·(а·в) равенство выполняется
б) пусть у = в, тогда z = a, z = в
а’) если z = а , тогда
(а·в)·а Ø= а·(в·a) не определено
(а·в)·а а·(в·a)
б’) если z = в, тогда
(а·в)·в Ø а·(в·в) не определено
(а·в)·в а·(в·в) равенство не выполняется
2) пусть х = с, тогда у = а , у = в
а) пусть у = а, тогда z = a, z = в
а’) если z = а , тогда
(с·а)·а Ø= с·(а·a) не определено
(с·а)·а с·(а·a) равенство не выполняется
б’) если z = в, тогда
(с·а)·в Ø с·(а·в) определено
(с·а)·в = с·(а·в) равенство выполняется
Итак , мы видим что частичный группоид является слабо ассоциативным при х = а и z = в или при х = с если у = а и z = в.
Определение 4.
Частичный группоид (S ; · ) называется коммутативным, если
(
х,y 
S) x·y = y·х 
Определение 5.
Частичный группоид (S ; · ) называется катенарным, если
(
х,y,z S) (x·y Ø y·z) → [(x·y)·z Ø x·(y·z)]Определение 6.
Частичный группоид (S ; · ) называется идемпотентным, если
(
х S) х 
= х