Случайные вектора (стр. 7 из 13)
Коэффициент корреляции и расстояние
59.1. Пусть 
- множество элементов 
Расстоянием (метрикой) между элементами 
множества 
называется неотрицательная функция 
, удовлетворяющая следующим трем аксиомам:
, причем 
.
.
.
Вторая аксиома называется условием симметрии, а третья – неравенством треугольника. Если аксиому 1 ослабить: 
, тогда называется псевдометрикой. Для псевдометрики из условия 
не обязательно следует 
.
Пусть 
- множество случайных величин. Для каждой пары 
элементов этого множества можно также ввести расстояние 
вида
. (59.1)
Покажем, что функция 
является псевдометрикой. Аксиома 1 – очевидна: 
, причем из условия 
следует 
. Аксиома 2 также очевидна. Рассмотрим аксиому 3. Справедливы следующие преобразования:
(59.2)
Пусть 
- корреляция двух случайных величин 
и 
. Известно, что 
удовлетворяет неравенству (55.2)
. (59.3)
Подставим (59.3) в (59.2), тогда
, (59.4)
что и доказывает третью аксиому.
59.2. Пусть
, 
(59.5)
- нормированные случайные величины. Рассмотрим квадрат расстояния между ними:
, (59.6)
где 
- коэффициент корреляции случайных величин 
и 
. Из (59.6) следует равенство
(59.7)
которое можно рассматривать как закон сохранения: величина 
- постоянная для любых случайных величин 
и 
. Это равенство позволяет дать интерпретацию коэффициента корреляции 
как величины, дополняющей расстояние 
до единицы.
Функция распределения вероятностей случайного вектора
Во многих приложениях теории вероятностей возникает необходимость рассматривать совокупность 
случайных величин 
, которая называется многомерной ( 
- мерной) случайной величиной или -мерным случайным вектором . Полное вероятностное описание 
- мерного случайного вектора задается функцией распределения вероятностей 
(или плотностью вероятности 
, или характеристической функцией 
). Функция 
аргументов
(60.1)
называется функцией распределения вероятностей случайного вектора 
. Здесь случайное событие
(60.2)
- представляет пересечение 
событий вида 
. В записях вида (60.1) для краткости символ пересечения 
принято заменять запятой.
Рассмотрим основные свойства функции распределения вероятностей.
1. Пусть 
- независимые случайные величины, тогда события 
, 
, - независимы и формула (60.1) принимает вид
, (60.3)
где 
- функция распределения вероятностей случайной величины 
. Таким образом, для независимых случайных величин их совместная функция распределения 
представима произведением одномерных функций .
Для любого 
. (60.4)
Доказательство следует из определения (60.1). Событие 
является невозможным, поэтому и событие (60.2) - невозможное, его вероятность равна нулю, следовательно выполняется соотношение (60.4).
Для любого 
. (60.5)
Это равенство также следует из определения. Событие 
- достоверное и в пересечении вида (60.2) это событие можно опустить, после чего из (60.1) следует (60.5).
Если 
для всех 
, то