Случайные вектора (стр. 5 из 13)

, (56.1)

где

- числа. Вычислим ковариацию

случайных величин

и

:

. (56.2)

Из (56.1) следует

. Подставим этот результат в (56.2), тогда

. (56.3)

Из (56.1) определим дисперсию

, (56.4)

откуда

. Это равенство подставим в (56.3), тогда

(56.5)

Таким образом, ковариация линейно связанных случайных величин

и

принимает максимальное значение

, если

, или минимальное значение

, если

, на отрезке

допустимых значений для

в общем случае (согласно формуле (55.4)).

В связи с этим можно выдвинуть предположение о том, что ковариация

является мерой статистической связи между случайными величинами

и

. Действительно, для двух крайних случаев получены подходящие для этого результаты, а именно: для независимых величин

, а для линейно связанных

максимален. Далее будет показано, что это предположение верно, но не в общем, а только для статистической связи линейного типа. Эта связь характерна тем, что при усилении этой связи растет

, и в пределе связь вырождается в линейную зависимость (56.1).

Однако если связь имеет нелинейный характер, то величина

не отражает меру (степень) этой связи. Рассмотрим следующий пример. Пусть

,

, и

- случайная величина с равномерным на интервале

распределением вероятностей. Случайные величины

и

связаны между собой соотношением:

. Таким образом, между величинами

и

существует функциональная связь, а не статистическая, и следовало ожидать, что величина

максимальна. Однако, прямые вычисления приводят к результату

. Действительно,

, (56.6)

где

- плотность распределения вероятностей случайной величины

. С учетом этого (56.6) преобразуется:

.

Аналогично

,

теперь ковариация

.

Таким образом, для нелинейной связи между случайными величинами их ковариация не может использоваться как мера статистической связи, поскольку значение ковариации не отражает степень этой связи.

Ковариация и геометрия линий равного уровня плотности вероятности

Ковариация случайных величин

и определяется через их совместную плотность вероятности соотношением:

. (57.1)

Подынтегральная функция в (57.1) неотрицательна для таких

, , при которых , то есть при , или , . И наоборот, при , или , подынтегральная функция (57.1) отрицательна либо равна нулю. Знак ковариации зависит от того, какие значения, положительные или отрицательные преобладают в подынтегральной функции. Поэтому знак числа определяется расположением линий равного уровня плотности вероятности . На рис. 57.1 представлен пример линий равного уровня функции , для которой . Штриховкой

Рис. 57.1.

Линии равного уровня плотности вероятности при

.указана часть плоскости, на которой , и следовательно неотрицательна подынтегральная функция. Поскольку в заштрихованной области (положительные значения подынтегральной функции) плотность имеет в среднем большее значение, чем в нештрихованной области (отрицательные значения подынтегральной функции), то ковариация . На рис. 57.2 представлены линии равного уровня плотности при . Случай соответствует симметричному расположению линий относительно прямой (или ). Например, эти линии могут быть эллипсами, у которых большая полуось совпадает по направлению с прямой (или ). Другой пример – линии являются окружностями с центром в точке .