Случайные вектора (стр. 12 из 13)

(66.4)

Обратное преобразование – это решение системы уравнений относительно

,

:

(66.5)

Обратное преобразование однозначно, поэтому в (66.2) сумма состоит из одного слагаемого. Найдем якобиан преобразования:

.

Теперь (66.2) для

принимает вид:

. (66.6)

Функция

- это совместная плотность вероятности случайных величин

и

. Отсюда плотность вероятности

суммы

находится из условия согласованности:

. (66.7)

Рассмотрим первый метод решения этой же задачи. Из (64.4) следует:

. 66.8)

Задача сводится к преобразованию интеграла по области

, определяемой условием

. Этот интеграл можно представить в виде:

(66.9)

Отсюда плотность вероятности:

Отсюда плотность вероятности:

, (66.10)

что совпадает с формулой (66.7).

Хи - квадрат распределение вероятностей

67.1. Хи - квадрат распределением с

степенями свободы называется распределение вероятностей случайной величины

, где

- независимые случайные величины и все

- гауссовы с математическим ожиданием

и дисперсией

. В соответствии с формулой (64.3) функция распределения вероятностей случайной величины

равна

, (67.1)

где

- совместная плотность вероятности величин

. По условию

- независимые, поэтому

равна произведению одномерных плотностей:

. (67.2)

Из (67.1), (67.2) следует, что плотность вероятности

случайной величины

определяется выражением:

. (67.3)

Анализ этого выражения, видимо, представляет собой наиболее простой способ нахождения

, поскольку здесь

и (67.3) можно представить в виде:

. (67.4)

Здесь интеграл равен объему

области

- мерного пространства, заключенной между двумя гиперсферами:

- радиуса

и

- радиуса

. Поскольку объем

гиперсферы радиуса

пропорционален

, т.е.

, то

(67.5)

- объем между двумя гиперсферами с радиусами

и , что и определяет с точностью до множителя интеграл (67.4). Подставим (67.5) в (67.4), тогда

, (67.6)

где

- постоянная, которая может быть определена из условия нормировки:

. (67.7)

Подставим (67.6) в (67.7), тогда

. (67.8)

Пусть

, , тогда интеграл (67.8)

, (67.9)

, (67.10)

где

- гамма - функция аргумента . Из (67.8) и (67.9) определяется постоянная , подстановка которой в (67.6) приводит к результату

(67.11)

67.2. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины

. Из (67.11)

. (67.12)

Аналогично среднее квадрата величины

равно

. (67.13)

Из (67.12), (67.13) дисперсия

. (67.14)

67.3. В задачах математической статистики важное значение имеют распределения вероятностей, связанные с нормальным распределением. Это прежде всего

- распределение (распределение Пирсона), - распределение (распределение Стьюдента) и - распределение (распределение Фишера). Распределение - это распределение вероятностей случайной величины

, (67.15)

где

- независимы и все .