Применение теоремы о среднем для исследования функции привлечения клиентов банка (стр. 2 из 3)
В классическом математическом анализе существует формула, определяющая зависимость изменения функции (экономического показателя
) от изменения аргумента (влияющего фактора 
). Эта формула широко известна как теорема о среднем Лагранжа, или формула конечных приращений. Теорема о среднем дифференциального исчисления (формула конечных приращений Лагранжа). Если функция
непрерывна на отрезке 
и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри найдется точка 
такая, что справедлива формула [3] 
. (1)Доказательство. Рассмотрим на отрезке
следующую вспомогательную функцию 
. (1.1)Проверим, что для функции
выполнены все условия теоремы Ролля. В самом деле, непрерывна на отрезке (как разность функции и линейной функции) и во всех внутренних точках отрезка имеет производную, равную 
.Из формулы (1.1) очевидно, что
.Согласно теореме Ролля внутри отрезка
найдется точка такая, что 
. (1.2)Из равенства (1.2) вытекает формула Лагранжа (1).
Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 3. Заметим, что
является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки 
, 
кривой y = f (x), а 
есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку 
. 
Рис. 3. Графическая интерпретация теоремы Лагранжа.
Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой y = f (x) между точками A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB .
Доказанная формула
носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений. Она очевидно верна и для случая 
.5. НЕКОТОРЫЕ НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В связи с предположением о существовании альтернативных форм изменения математической величины встает задача получения зависимостей, связывающих изменения функции и аргументов, подобно теореме Лагранжа о среднем для приращений. Получение таких зависимостей базируется на классической теореме Лагранжа.
Получим зависимость индекса функции от индекса аргумента. Пусть задана зависимость
. Тогда 
. Рассмотрим логарифм индекса аргумента 
. Аналогично для индекса функции 
Теорема о среднем в знакомой нам всем форме имеет вид
.А теорема Лагранжа, в которой разности заменены частными (индексами)
. Имеем 
, где 
- производная, выраженная через частные.Классически производная определяется следующим образом
.Введем замену
, 
. Предположим, что переменные 
и 
положительны. Пусть 
, 
. При этом 
, 
, 
, 
, 
. Операция логарифмирования переводит частные в разности: 
, 
.Производная преобразованной функции имеет вид [3]
, причем 
.После возврата к исходным переменным имеем
,тогда
.После окончательного возврата к исходным переменным имеем
. Полученное выражение является определением производной, выраженной через частные.Тогда теорема Лагранжа примет вид:
. (2)Рассматривая различные формы изменения величины, указанные выше, можно получить еще семь разных зависимостей, представляющих собой формулу конечных приращений Лагранжа (подобно мультипликативной, индексной зависимости) [6]:
- зависимость индекса функции от приращения аргумента:
, (3)- зависимость индекса функции от относительного приращения аргумента:
,(4)
- зависимость приращения функции от индекса аргумента:
, (5)
- зависимость приращения функции от относительного приращения аргумента:
, (6)
- зависимость относительного приращения функции от приращения аргумента:
, (7)
- зависимость относительного приращения функции от индекса аргумента:
, (8)- зависимость относительного приращения функции от относительного приращения аргумента:
. (9)