Случайные величины (стр. 8 из 13)
. (38.6)
Последнее равенство справедливо, поскольку 
. Подставим в (38.6) формулу Бернули, тогда:
. (38.7)
Введем новый индекс суммирования 
, тогда
. (38.8)
Поскольку 
- вероятность 
успехов в серии из 
опытов, то 
- как вероятность достоверного события, состоящего в появлении любого числа успехов в интервале 
. Поэтому из (38.8) следует
. (38.9)
38.4. Однако не у всякой случайной величины существует ее математическое ожидание. Причиной этого является расходимость интеграла (37.4), что в свою очередь, обусловлено малой скоростью сходимости к нулю плотности 
при 
, так что для функции 
не существует интеграл вида (37.4). Для примера рассмотрим вычисление математического ожидания случайной величины 
, распределенной по закону Коши: 
.
(38.10)
Здесь несобственный интеграл расходится, так как
.
Следовательно, случайная величина не имеет математического ожидания. Однако, если интеграл в (38.10) понимать в смысле главного значения Коши, то
,
поскольку функция 
является нечетной. Следовательно, при этом
. (38.11)
Свойства математического ожидания
Основные свойства математического ожидания следуют непосредственно из свойств интеграла в определении (37.5):
. (39.1)
1. Пусть 
представляет собой постоянную 
, тогда из (39.1) следует
, (39.2)
поскольку для плотности выполняется условие нормировки (33.6). Таким образом, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной.
2. Пусть 
, где 
- число и 
- однозначная функция одной переменной, тогда из (39.1) следует
. (39.3)
Таким образом, постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания.
3. Пусть 
, где 
- числа, 
- однозначные функции одной переменной, тогда из (39.1) следует
. (39.4)
Из этого равенства при 
следует свойство 2, а при и 
- свойство 1.
Математическое ожидание 
- это число, которое ставится в соответствие случайной величине . Поэтому можно рассматривать как операцию (оператор, функцию) над случайной величиной . В соответствии со свойствами 1-3 оператор математического ожидания является линейным оператором.
Дисперсия случайной величины
40.1. Дисперсией случайной величины называется число
. (40.1)
Дисперсия является удобной характеристикой разброса значений около ее среднего значения . Часто используется для обозначения дисперсии символ 
. Тогда 
называется среднеквадратическим уклонением случайной величины . Если дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, то размерность 
совпадает с размерностью случайной величины. Из (40.1) в соответствии со свойствами математического ожидания следует
. (40.2)
Таким образом,
. (40.3)
Если дискретная случайная величина со значениями 
и соответствующими вероятностями 
, то ее дисперсия
(40.4)
Если - непрерывная случайная величина и - ее плотность вероятности, то
. (40.5)
40.2. Рассмотрим примеры. Вычислим дисперсию нормальной случайной величины. Ее плотность определяется формулой (35.4). Подставим в (40.5), тогда
. (40.6)
Пусть 
, тогда 
,
. (40.7)
Подстановка пределов в (40.7) дает нулевые результаты, а интеграл равен 
. Поэтому
. (40.8)
Таким образом, параметр 
в плотности нормальной случайной величины является дисперсией этой величины, а среднеквадратичное уклонение определяет эффективную ширину плотности : значение 
в 
раз меньше значения 
- в точке максимума.