Линии второго порядка (стр. 1 из 5)
СОДЕРЖАНИЕ
1. Линии второго порядка на евклидовой плоскости.
2. Инварианты уравнений линий второго порядка.
3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.
4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности.
5. Центры линий второго порядка.
6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка.
7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему.
8. Главные направления и диаметры линий второго порядка.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Линии второго порядка в евклидовой плоскости.
Определение:
Евклидова плоскость – это пространство размерности 2,
(двумерное вещественное пространство).Линии второго порядка представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.
Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий.
Если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится линия, называемая эллипсом (рис. 1.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении получится линия, называемая гиперболой (рис. 1.1,6). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса (на 1.1, в — это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рис. 1.1 дает наглядное представление о форме рассматриваемых линий.
Рисунок 1.1
Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:
(1)
или
(1*)
Эллипсом называется множесво точек плоскости, для которых сумма расстояний до двухфиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.
Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F1F2, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2 (если фокусы F1 и F2совпадают, то О совпадает с F1и F2, а за ось Ох можно взять любую ось, проходящую через О).
Пусть длина отрезка F1F2равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F1и F2соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т. е. а > с (Если М — точка эллипса (см. рис. 1.2), то |MF]|+ |MF2| = 2a, а так как сумма двух сторон MF1 и MF2треугольника MF1F2 больше третьей стороны F1F2 = 2c, то 2а > 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F1F2 и эллипс вырождается в отрезок.).
Пусть М — точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 1.2). Обозначим через r1и r2 расстояния от точки М до точек F1и F2соответственно. Согласно определению эллипса равенствоРис. 1.2
r1+ r2 = 2а (1.1)
является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.
Используя формулу расстояния между двумя точками, получим
(1.2)Из (1.1) и (1.2) вытекает, что соотношение
(1.3)представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. Поэтому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду
(1.4)где
(1.5)Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). Поскольку при алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы должны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величины r1 и r2для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.4). Подставляя значение у2из (1.4) в правую часть выражения (1.2) для г1 после несложных преобразований найдем, что
, тогда 
.Совершенно аналогично найдем, что
. Таким образом, для рассматриваемой точки М , (1.6)т. е.r1+ r2 = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и bназываются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объясняется тем, что а>Ь).
Замечание. Если полуоси эллипса а и bравны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R = a = b, а центр совпадает с началом координат.
Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек, F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (Фокусы F1и F2гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпаденииF1и F2, которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и F1 совпадает с F2, то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.).
Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F1F2, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2. Пусть длина отрезка F1F2равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F1 и F2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, 2a< 2с, т. е. a< с.
Пусть М — точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 1,2). Обозначим через r1и r2 расстояния MF1и MF2. Согласно определению гиперболы равенство
(1.7)является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе.
Используя выражения (1.2) для r1и r2и соотношение (1.7), получим следующее необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной гиперболе:
. (1.8)Используя стандартный прием «уничтожения радикалов», приведем уравнение (1.8) к виду
(1.9)где
(1.10)Мы должны убедиться в том, что уравнение (1.9), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (1.8), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.9), величины r1и r2удовлетворяют соотношению (1.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (1.6), найдем для интересующих нас величин r1и r2следующие выражения:
(1.11)Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем
, и поэтому она располагается на гиперболе.Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением гиперболы. Величины а и bназываются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости.