Линии второго порядка (стр. 5 из 5)
Рисунок 7.1
Упрощение уравнения центральной линии второго порядка
Дано уравнение 
, определяющее центральную линию второго порядка (
= АС — В2¹0). Перенося начало координат в центр S(х0; у0) этой линии и преобразуя уравнение по формулам: 
получим;
(7.2)
Для вычисления
можно пользоваться формулой: 
Или
Дальнейшее упрощение уравнения (7.2) достигается при помощи преобразования координат
(7.3)
соответствующего повороту осей на угол α.
Если угол α выбран так, что:
(7.4)то в новых координатах уравнение линии примет вид
(7.5)где
.Замечание. Уравнение (7.4) позволяет определить
, тогда как в формулах (3) участвуют 
и 
. Зная , можно найти и по формулам тригонометрии 
Между коэффициентами уравнений (1*) и (7.5) существуют важные соотношения:
,которые позволяют определить коэффициенты А' и С', не проводя преобразования координат.
Уравнение второй степени называется эллиптическим, если
> 0, гиперболическим, если < 0, и параболическим, если = 0.Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим, или гиперболическим.
Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (т. е. определяет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет никакого геометрического образа).
Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную гиперболу (т. е. пару пересекающихся прямых).
Упрощение параболического уравнения.
Пусть уравнение является параболическим, т. е. удовлетворяет условию
.В этом случае линия, определяемая уравнением 
, либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение параболического уравнения целесообразно начать с поворота координатных осей, т. е. сначала преобразовать уравнение при помощи формул 
(7.6)
Угол
следует найти из уравнения 
(7.7)тогда в новых координатах уравнение приводится либо к виду 
(7.8)где
, либо к виду 
(7.9)где
.Дальнейшее упрощение уравнений (7.8) и (7.9) достигается путём параллельного перенесения (повёрнутых) осей.
8. Главные направления и диаметры линий второго порядка.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. А.П. Веселов, Е.В. Троицкий, Лекции по аналитической геометрии, МГУ, 2002.
2. Д.А. Клетеник, Аналитическая геометрия.
3. П.И. Кузнецов, Лекции по аналитической геометрии МГУ.
4. С.Б. Кадомцев, Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Физматлит, 2003
5. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Аналитическая геометрия.