Линии второго порядка (стр. 3 из 5)

Из соотношений (2.6) — (2.7) получаем

(2.8)

Так как величины А, В, С, углы

не зависят от угла (эго вытекает из инвариантности ), то из (2.8) следует, что так же не зависит от угла , т. е. при любом значении имеет одно и то же значение. Но а'_ij= а_ijпри =0, и поэтому .Таким образом, инвариантность также установлена. Теорема доказана.

3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.

Введем следующие обозначения:

Тогда

№	Название линии	Признаки		Наличие центра
		типа	класса
1	эллипс			точка
2	мнимый эллипс
3	точка
4	гипербола
5	2 пересекающиеся прямые
6	Парабола			центра нет
7	2 параллельные. прямые		, ,	бесконечно много центров
8	2 мнимые параллельные прямые		, ,
9	2 совпадающие прямые		, ,

Пример 3.1: Определение зависимости типа данной кривой (3.1) от параметра b с помощью инвариантов

(3.1)

Для уравнения кривой второго порядка (3.1) имеем:

Вычислим инварианты кривой

.

.

.

В соответствии с классификацией кривых второго порядка:

Если I₂ = 0, то уравнение (3.1) определяет кривую параболического типа.

Но I₂ = -306-11b , следовательно, если

, то уравнение (1) определяет кривую параболического типа.

Но при этом

, следовательно, если

, то уравнение (1) определяет параболу.

Если I₂¹ = 0, то данная кривая – центральная. Следовательно, при

данная кривая – центральная.

Если I₂ > 0, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если

, то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом I₁I₃ = (1-b)(4885b-306) < 0, и в соответствии с признаками кривых второго порядка (I₂ > 0, I₁I₃ < 0) получим, что если

, то уравнение (1) определяет эллипс.

Если I₂ < 0, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если

, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

Если I₂ < 0 и I₃ = 0, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

Следовательно, если

, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

Если I₂ < 0 и I₃¹ 0, то данная кривая – гипербола. Но I₃¹ 0 при всех

за исключением точки

. Следовательно, если

, то уравнение (1) определяет гиперболу. Используя полученные результаты, построимтаблицу:

Значение парамет-ра b
Тип кривой	Эллипс	Парабола	Гипербола	Две пересекающиеся прямые	Гипербола

4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности.

5. Центры линий второго порядка.

Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Точка S(х₀; у_а) является центром линии, определяемой уравнением (1*) в том и только в том случае, когда её координаты удовлетворяют уравнениям:

(5.1)

Обозначим через

определитель этой системы:

.

Величина

составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1*) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.

Если

¹ 0, то система (5.1) является совместной и определённой, т. е. имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам: