Линии второго порядка (стр. 2 из 5)

Указанная в определении точка Fназывается фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой (направляющая) параболы.

Для вывода канонического уравнения параболы выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка FD, представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса Fна директрису (Естественно считать, что фокус Fне лежит на директрисе, ибо в противном случае точки плоскости, для которых были бы выполнены условия определения параболы, располагались на прямой, проходящей через Fперпендикулярно директрисе, т. е. парабола выродилась бы в прямую), а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.3. Пусть длина отрезка FDравна р. Тогда в выбранной системе координат точка Fимеет координаты (

). Пусть М — точка плоскости с координатами (х, у). Обозначим через rрасстояние от М до F, а через d— расстояние от М до директрисы (рис. 1.3). Согласно определении параболы равенство r= d(1.12) является необходимым и достаточным условием расположения точки М на-данной параболе.

рис 1.3

Так как

(1.13)

(эта формула верна лишь для точек с неотрицательными абсциссами х. Для точек с отрицательными абсциссами, как легко видеть, выполняется соотношение г > d, и поэтому такие точки можно исключить из рассмотрения) то, согласно (1.12), соотношение

(1.14)

представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной параболе. Поэтому соотношение (1.14) можно рассматривать как уравнение параболы. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

(1.15)

Убедимся в том, что уравнение (6.15), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (1.14), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.15), величины rи dравны (выполнено соотношение (1.12)).

Из соотношения (1.15) вытекает, что абсциссы х рассматриваемых точек неотрицательны, т. е.

. Для точек с неотрицательными абсциссами . Найдем теперь выражение для расстояния rот точки М до F. Подставляя у²из выражения (1.15) в правую часть выражения для r(1.13) и учитывая, что , найдем, что . Таким образом, для рассматриваемых точек r = d, т. е. они располагаются на параболе.

Уравнение (1.15) называется каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

Пример 1.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением

.

Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс

. Действительно, проделаем следующие преобразования:

Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в

и полуосями и .

Пример 1.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением x²+ 10х - 2у + 11 = 0.

Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действительно,

.

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке

и .

2. Инварианты уравнений линий второго порядка.

Назовем инвариантом уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат такую функцию f(a₁₁, a₁₂, ..., а₃₃) от коэффициентов а_inэтого уравнения, значения которой не меняются при переходе к новой декартовой прямоугольной системе координат. Таким образом, если f(a₁₁, a₁₂, ..., а₃₃) инвариант и а’_ij- коэффициенты уравнения линии второго порядка в новой системе декартовых координат, то

f(a₁₁, a₁₂, ..., а₃₃)= f(a’₁₁, a’₁₂, ..., а’₃₃)

Теорема: Величины

(2.1)

являются инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат.

Доказательство.

Очевидно, инвариантность величин

достаточно доказать отдельно для параллельного переноса системы координат и для поворота

Рассмотрим сначала параллельный перенос системы координат. При этом преобразовании координат коэффициенты группы старших членов не изменяются. Поэтому не изменяются и величины

. Займемся величиной . В новой системе координат О'х'у' величина равна

(2.2)

Вычитая из последней строки этого определителя первую строку, умноженную на х₀, и вторую, умноженную на у₀ (х₀и у₀— координаты нового начала О'), и используя при этом выражения для а’₁₃и а’₂₃ из формул параллельного переноса

(2.3)

где

найдем, что этот определитель равен:

Если теперь вычесть из последнего столбца полученного определителя первый столбец, умноженный на х₀, и второй, умноженный на y_о, и использовать при этом выражения для а'₁₃и а'₂₃ из формул (2.3), то в результате получится определитель, стоящий в правой части выражения для

в формулах (2.1). Итак, инвариантность при параллельном переносе системы координат доказана.

Рассмотрим теперь поворот декартовой системы координат. При этом преобразовании коэффициенты а’_ijуравнения линии Lв новой системе связаны с коэффициентами а_ijуравнения этой линии в старой системе с помощью формул

(2.4)

Докажем теперь инвариантность

. Имеем, согласно (2.4):

Таким образом, инвариантность

доказана. Обратимся теперь к

Разлагая этот определитель по элементам последнего столбца, учитывая только что доказанную инвариантность

, т. е. равенство

и равенство а'₃₃ = а₃₃, получим

(2.5)

Согласно формулам (2.4) первое слагаемое в правой части (2.5) может быть преобразовано следующим образом:

(2.6)

Совершенно аналогично получается равенство а'₂₃

(2.7)