Геометрические свойства кривых второго порядка (стр. 2 из 3)
, 
. (2.5)Так как
, то дальнейшее упрощение уравнения (2.5) мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол 
. При повороте осей координат на угол координаты 
произвольной точки 
плоскости в системе координат 
и координаты 
в новой системе координат 
связаны соотношениями 
(2.6)Подставляя (2.6) в уравнение (2.5), получим
Раскроем скобки и приведем подобные члены
Приводя подобные члены, получим уравнение
(2.7)Теперь выберем такой угол
, что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении 
равен нулю. Получим уравнение относительно синуса и косинуса угла : 
. (2.8)Разделим правую и левую части данного уравнения почленно на
. Мы можем это сделать, так как 
, потому что если 
(то есть 
), то при подстановке в уравнение (2.8) получим, что и 
, что противоречит основному тригонометрическому тождеству 
. Получим уравнение 
. (2.9)Решая уравнение (2.9), получим
, 
.Зная значение тангенса, можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам:
, 
. Подставляя соответствующие значения тангенса, получаем:
Возьмем для определенности
. Тогда соответствующие значения синуса и косинуса есть 
, (2.10)Подставляя (2.10) в уравнение (2.7), получаем:
и преобразовав данное уравнение, получим уравнение вида:
И, соответственно, уравнение
(2.11)— это каноническое уравнение исходной гиперболы.
III. Фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты кривой
Пусть
и 
— фокусы, 
— эксцентриситет, 
— центр, а 
— директрисы данной гиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты: 
, 
, где 
и 
. Для данного уравнения гиперболы (2.11) получаем, что 
, 
, и значит 
. Отсюда получаем 
, 
.Эксцентриситет гиперболы (2.11)
.Директрисы гиперболы задаются уравнениями:
и 
. Подставляя найденные значения 
и , получаем: 
Прямые
и 
в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:
IV. Уравнения осей гиперболы в общей системе координат
Теперь напишем уравнения осей новой системы
в исходной системе координат 
.Так как система
— каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой — 
, то есть оси 
и 
проходят через точку .В пункте II было установлено, что угловой коэффициент оси
.Уравнение прямой, проходящей через данную точку
с заданным угловым коэффициентом 
, имеет вид 
. Следовательно, ось в системе координат задана уравнением 
, или 
, где в роли точки 
выступает центр гиперболы точка 
.Так как ось
перпендикулярна оси , то ее угловой коэффициент 
. Следовательно, ось в системе координат задана уравнением 
, или 
.V. Построение графиков гиперболы
Используя полученные в ходе выполнения задания данные, построим гиперболу (2.1) в исходной системе координат
(см. рис. 1) и гиперболу (2.11) в канонической системе координат (см. рис. 2).