Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (стр. 3 из 8)

Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения f(x) = 0, где f(x) алгебраическая или трансцендентная функция.

Точные методы решения таких уравнений подходят только к узкому классу уравнений (линейные, квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).

В общем случае решение данного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:

1) отделение (локализация) корня;

2) приближённое вычисление корня до заданной точности.

Отделение корня. Отделение действительного корня уравнения f(x) = 0 – это нахождение отрезка [a; b], в котором лежит только один корень данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции (локализации) корня.

Наиболее удобным и наглядным является графический метод отделения корней:

1) строится график функции y = f(x), и определяются абсциссы точек пересечения этого графика с осью OX, которые и являются корнями уравнения f(x) = 0;

2) если f(x) – сложная функция, то её надо представить в виде

так, чтобы легко строились графики функций . Так как . Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения

Уточнение корня.Если искомый корень уравнения

отделён, т.е. определён отрезок [a; b], на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближённое значение корня с заданной точностью.

Такая задача называется задачей уточнения корня.

Уточнение корня можно производить различными методами:

1) метод половинного деления (бисекции);

2) метод итераций;

3) метод хорд (секущих);

4) метод касательных (Ньютона);

5) комбинированные методы.

Метод половинного деления (бисекции).

Отрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.

Такой метод можно применять, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие^

(1)

Разделим отрезок [a; b], пополам точкой

, которая будет приближённым значением корня .

Для уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.

Из отрезков [a; c₁] и [c₁; b] выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).

Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим

и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства

Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).

Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.

Метод хорд (секущих).

Этот метод применяется при решении уравнений вида f(x) = 0, если корень уравнения отделён, т.е.

и выполняются условия:

1)

(функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка.

2) производная

сохраняет знак на отрезке [a; b], т.е. функция f(x) либо возрастает, либо убывает на отрезке [a; b].

Первое приближение корня находится по формуле:

.

Для следующего приближения из отрезков [a; х₁] и [х₁; b]выбирается тот, на концах которого функция f(x) имеет значения разных знаков.

Если

, то второе приближение вычисляется по формуле:

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.

Метод касательных (Ньютона).

Этот метод применяется, если уравнение f(x) = 0 имеет корень

, и выполняются условия:

1)

(функция принимает значения разных знаков на концах отрезка [a; b];

2) производные

сохраняют знак на отрезке [a; b], т.е. функция f(x) либо возрастает, либо убывает на отрезке [a; b], сохраняя при этом направление выпуклости.

На отрезке [a; b] выбирается такое число х₀, при котором f(x₀) имеет тот же знак, что и

, т. е. выполняется условие . Таким образом, выбирается точка с абсциссой x₀, в которой касательная к кривой на отрезке [a; b], пересекает ось OX. За точку x₀ сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Первое приближение корня определяется по формуле:

.

Второе приближение корня определяется по формуле:

.

Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности

– до выполнения неравенства .

Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.

Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.

Комбинированный метод хорд и касательных.

Если выполняются условия:

1)

,

2)

и сохраняют знак на отрезке [a; b],

то приближения корня

уравнения по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.

Схема решения уравнения методом хорд и касательных

1. Вычислить значения функции

и .

2. Проверить выполнение условия

. Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок [a; b].

3. Найти производные

.

4. Проверить постоянство знака производных на отрезке [a; b]. Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок [a; b].

5. Для метода касательных выбирается за х₀ тот из концов отрезка [a; b], в котором выполняется условие

, т.е. и одного знака.

6. Приближения корней находятся:

а) по методу касательных:

,

б) по методу хорд:

.

7. Вычисляется первое приближение корня:

.

8. Проверяется выполнение условия:

, где - заданная точность.

Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1 – 8.

В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид

. Приближённые значения корня находятся по формулам:

и .

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение

, при котором и совпадут с точностью .