Суммирование расходящихся рядов (стр. 3 из 5)

Так что

при . Пусть теперь выбрано достаточно большим чтобы: выполнялось неравенство ; соответствующее xбыло настолько близко к 1, что

. Тогда

Что и доказывает утверждение теоремы.

К рассмотренному частному случаю теоремы приводится и общий. Положим

так что

и затем

(7)

Но из предположения теоремы, т.е. из того, что

при , легко получить, что

. (8)

Для доказательства этого достаточно разбить здесь сумму на две:

и выбрать Nтаким, чтобы во второй сумме все множители

были по абсолютной величине меньшими наперед заданного числа , тогда и вторая сумма по абсолютной величине будет меньше , каково бы ни было х; относительно первой суммы, состоящей из определенного конечного числа слагаемых, того же можно достигнуть за счет приближения х к 1.

Но здесь уже можно применить доказанный частный случай теоремы, так что и

С другой стороны,

Отсюда, так как первое слагаемое справа стремится к нулю

Что и завершает доказательство теоремы.

Глава 3. Метод средних арифметических

3.1 Суть метода

Идея метода в простейшем его осуществлении принадлежит Фробениусу, но связывают его обычно с именем Чезаро, который дал методу дальнейшее развитие.

По частичным суммам

данного числового ряда (А) строятся их последовательные средние арифметические

Если варианта

при

имеет предел А, то это число и называют “обобщенной (в смысле Чезаро) суммой” данного ряда.

Примеры.1) Возвращаясь к ряду

Имеем здесь

так что

. Мы пришли к той же сумме, что и по методу Пуассона-Абеля.

2) Для ряда

. Частичные суммы будут (если только )

Теперь нетрудно подсчитать средние арифметические:

Итак, окончательно

Очевидно,

: для значений “обобщенной суммой” и здесь служит 0.

3) Наконец, пусть снова предложен ряд

Имеем при

,

и затем

Отсюда ясно, что

Во всех случаях по методу Чезаро получилась та же “обобщенная сумма", что и выше, по методу Пуассона-Абеля. Оказывается это не случайность.

3.2 Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро

Начнем с простого замечания: если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то необходимо

Действительно, из

и следует, что

а тогда и

что и требовалось доказать.

Теорема (Фробениуса). Если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то одновременно он суммируем также по методу Пуассона-Абеля и притом к той же сумме.

Доказательство. Итак, пусть

. Ввиду сделанного вначале замечания очевидна сходимость степенного ряда

для 0<x<1. Выполнив дважды преобразование Абеля, последовательно получим

[при этом следует помнить, что

].

Известно, что (для 0<x<1)

или

Умножим обе части тождества на А и вычтем из него почленно предыдущее тождество:

Сумму справа разобьем на две:

Причем число Nвыберем так, чтобы при

было

где

- произвольное наперед заданное положительное число. Тогда вторая сумма по абсолютной величине и сама будет меньше (независимо от ), а для первой суммы того же можно добиться за счет приближения xк 1. Этим и завершается доказательство.

Итак, мы установили, что во всех случаях, где приложим метод Чезаро, приложим и метод Пуассона-Абеля с тем же результатом.

Обратное же неверно: существуют ряды суммируемые методом Пуассона-Абеля, но не имеющие “обобщенной суммы" в смысле Чезаро. Рассмотрим, например, ряд

Так здесь явно не соблюдено необходимое условие суммируемости по методу средних арифметических, то этот метод не приложим. В то же время ряд

Имеет (при 0<x<1) сумму

, которая при стремится к пределу . Это и есть “обобщенная сумма" нашего ряда по Пуассону-Абелю.

Таким образом, метод Пуассона-Абеля является более мощным, то есть приложим в более широком классе случаев, чем метод Чезаро, но не противоречит ему в тех случаях, когда они оказываются приложимыми оба.

3.3 Теорема Харди-Ландау

Как и в случае Пуассона-Абеля, для метода Чезаро также могут быть доказаны теоремы “тауберовского” типа, устанавливающие те дополнительные условия относительно членов ряда, при наличии которых из суммируемости ряда по методу средних арифметических вытекает его сходимость в обычном смысле слова. Ввиду теоремы Фробениуса ясно, что каждая тауберовская теорема для метода Пуассона-Абеля приводит, в частности, к такой же теореме для метода Чезаро. Например, сама теорема Таубера перефразируется теперь так: если

и выполняется условие