Погрешность
Имеются две разновидности применения формулы (1). Первая разновидность: вычисления ведутся непосредственно по формуле (1) при

, начиная с двух приближений
x0 и
x1, взятых, по возможности, поближе к корню
x * . При этом не предполагается, что
x * лежит между
x0 и
x1 (и что значения функции
f в точках
x0 и
x1 имеют разные знаки). При этом не гарантируется, что корень попадёт на отрезок между
xi − 1 и
xi на каком-либо следующем шаге (хотя это и исключено). В таком случае затруднительно дать оценку погрешности, с которой
xi + 1 приближает истинное значение корня
x * , и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом: вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство

, где

- желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближённое значение корня равным

.
Условие сходимости
Достаточное условие сходимости, таково:

Это неравенство может быть переписано в виде

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,

так как

(тем самым проясняется смысл выбора знака числа

), а во-вторых, когда

при всех X на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

где

. Таким образом, угловой коэффициент K не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка X[1] может выскочить из рассматриваемой окрестности корня X[*] , и сходимость итераций к корню может быть нарушена.
Метод половинного деления
Снова предположим, что корень отделён на отрезке

и знаки

и

различны (функция

меняет знак при переходе через корень

).
Положим

и

и вычислим значения функции в левом конце отрезка,

, и в его середине

;

. Сравним знаки чисел

и

. Если эти знаки различны, то корень

лежит в интервале

; если же одинаковы, то тогда различны знаки

и

, и корень лежит в интервале

. (Возможен ещё случай

; тогда корень

уже найден.) В обоих случаях смены знака корень оказывается отделён на отрезке

либо

, длина которого ровно в два раза меньше длины исходного отрезка

. Обозначим этот отрезок половинной длины через

(то есть положим

в случае, когда

и

разных знаков, и

в случае, когда

и

одного знака).
Далее повторим процесс для отрезка

: снова отыщем его середину

, найдём значение функции

и сравним знак этого числа со знаком

; если знаки разные, то корень отделён на

, если одинаковые, то на

(или же оказывается, что

; тогда корень найден). Длина отрезка, на котором отделён корень, уменьшилась ещё в два раза.

Рис 4. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню

Поступая тем же образом и далее, получаем, что после

делений длина отрезка, на котором лежит корень, сокращается в

раз и становится равной

(если корень не был точно определён на каком-то предыдущем этапе, то есть не совпал с

при некотором

).
Погрешность
Пусть

- заданная точность, с которой требуется отыскать корень. Процесс деления отрезков следует остановить, как только станет верным неравенство

. Очевидно, что если при этом положить

то расстояние от корня

, лежащего где-то в интервале

, до середины этого интервала

будет не больше

, то есть приближённое равенство

будет выполнено с нужной точностью. C увеличением точности заметно возрастает объем вычислительной работы, поэтому метод удобно применять для нахождения грубого корня уравнения.
Метод легко реализуется на ЭВМ.
Пример решения уравнения методом Ньютона
Уравнение:

,

.

f(0)=1
f’’(0)=1
Следовательно, при x=1 f(x)f’’(x)>0. Начальное приближение x0=0.
f’(x)=

f’(x)
0 при 
Вывод: в третьем приближении получен результат с 4-мя точными знаками после запятой:

.
Ответ:
· «Основы вычислительной математики», Б. П. Демидович, И.А. Марон, 1966г.
· Материалы электронной библиотеки http://elib.ispu.ru/