Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной (стр. 4 из 6)

Строим график функции (рис.1). Строить его удобно по промежуткам, которые указаны в таблице.

Пример 2. Исследовать функцию

1)

2) Функция четная, исследование ее можно проводить на промежутке

.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, т.е. решим уравнение

. Пусть тогда уравнение примет вид: или , т.е. или , не имеет решения. Получили две точки пересечения с осью абсцисс . График пересекает ось ординат в точке .

4) Найдем производную функции

5) Найдем критические точки функции:

а)

, если , , или , или

б)

определена на всей

6) Определим знак производной на промежутках, найдем значения в точках -1, 0, 1. Полученные данные занесем в таблицу и построим график [2].

	−		+		−		+
Min	max	min

Построим график данной функции (рис. 2):

Приведем примеры заданий для самостоятельной работы по исследованию функций.

Исследуйте функцию и постройте ее график:

1)

2)

3)

4)

5)

После изучения данной темы учащимся предлагается контрольная работа.

Контрольная работа по теме «Производная и ее применение»

I вариант

1. Дана функция

. Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

б) точки экстремума;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

.

2. Постройте график функции

.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой .

4. В какой точке касательная к графику функции

параллельна прямой ?

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

II вариант

1. Дана функция

. Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

б) точки экстремума;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

.

2. Постройте график функции

.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой .

4. В какой точке касательная к графику функции

параллельна прямой ?

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [10].

§3. Типичные ошибки учащихся при исследовании функций

При проведении исследования функций учащиеся часто допускают ошибки. Большое число ошибок допускается при построении графиков функции с использованием производной.

а) Пусть требуется исследовать с помощью производной функцию

и построить ее график. Результаты исследования функции оформим в виде таблицы (таб. 1).

Таблица 1

		0
	+	0	−	0	+	−
				0
Max	min	max

Покажем ошибочные эскизы графиков, которые учащиеся изображают по данной таблице (рис. 3,4,5,6)