Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной (стр. 2 из 6)

Учащимся необходимо разъяснить наглядный смысл признаков, который приводится из физических рассуждений.

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени

имеет ординату . Тогда скорость этой точки в момент времени равна . Если в каждый момент времени из промежутка , то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если , то . Это означает, что функция возрастает на промежутке [2].

Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции.

Решение: найдем производную функции (заметим, что она существует для всех

):

.

Приравняем производную к нулю:

, откуда .

При

, следовательно, при , функция возрастает, а при , следовательно, при , функция убывает [3].

После рассмотрения темы на возрастание (убывание) функции, вводится понятие критической точки или экстремумов функции.

Критические точки функции, ее максимумы и минимумы.

Теоретический материал этой темы составляет основу получения общего метода решения большого класса задач − задач на нахождение экстремумов функций. На этапе, где рассматривается общая схема исследования функции, у учащихся еще не было метода нахождения точек экстремума. В данной теме рассматривается необходимый признак экстремума (Теорема Ферма) и достаточный признак максимума и минимума. После изучения темы каждый учащийся должен уметь находить экстремумы функций.

1. Для активного восприятия учащимся нового материала целесообразно повторить понятие точек экстремума и понятие экстремума.

2. Используя таблицу с рисунками (графиками функций), с помощью системы наводящих вопросов можно подвести учащихся к самостоятельному формулированию (к упрощенной формулировке) признаков максимума и минимума функции:

1) Укажите точки максимума и минимума функции.

2) Определите знак значений производной функции в промежутке слева от точки максимума (минимума).

3) Определите знак значений производной функции в промежутке справа от точки максимума (минимума).

4) Как меняется знак производной при прохождении через точку максимума (минимума)?

Доказательство признаков максимума и минимума функции необходимо проводить с привлечением учащихся [1].

Рассмотрим определение критической точки:

Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых она равна нулю или не существует, называют критическими точками этой функции.

Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции. Рассмотрим соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма.

Необходимое условие экстремума. Если точка

является точкой экстремума функции , то она равна нулю: .

Важно отметить, что теорема Ферма лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке

обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке не имеет.

Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует.

Пример 1. Рассмотрим функцию

. Эта функция не имеет производной в точке 0. Значит, 0 − критическая точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.

Пример 2. Точка 0 для функции

не является критической: в ней производная не существует, но она не внутренняя точка области определения.

Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь найти ее критические точки. Но как видно из рассмотренных примеров, вопрос о том, действительно ли данная критическая точка есть точка экстремума, требует дополнительного исследования. При этом часто помогают такие достаточные условия существования экстремума в точке.

Признак максимума функции. Если функция

непрерывна в точке , а на интервале и на интервале , то точка является точкой максимума функции .

Учащимся удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке

производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума.

Признак минимума функции. Если функция

непрерывна в точке , на интервале и на интервале , то точка является точкой минимума функции .

Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке

производная меняет знак с минуса на плюс, то есть точка минимума [2].

Пример. Найти экстремумы функции

.

Решение: область определения заданной функции есть множество всех действительных чисел. Найдем критические точки функции, для чего решим уравнение

.

Так как

, то имеем , откуда .

Исследуем знак производной функции на всех промежутках, на которые стационарные точки разбили множество

. При , при , а при . Итак, - точка максимума функции, а - точка минимума функции.