Вектор (стр. 3 из 6)

Заметим, прежде всего, что оба вектора

и отличны от нуля, так как если бы хоть один из них был нулевым, то они были бы коллинеарны. Если вектор коллинеарен одному из данных векторов, то утверждение сводится к теореме из второго раздела.

В общем случае перенесем все три вектора в одну точку О (рис. 6). Через конец C вектора

проведем прямые CР и CQ, параллельные векторам и . Тогда , причем векторы и коллинеарны соответственно и . В силу теоремы из второго раздела существуют и определены однозначно такие числа λ и μ, что , . Таким образом, , что и требовалось.

Допустим теперь, что существует другая линейная комбинация

, равная , причем, например λ ≠ σ. Тогда , так как иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку C параллельно вектору . Из последнего равенства вытекает, что σ = λ, в противоречие с нашим предположением.

Следствие: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

В самом деле, пусть векторы

, , линейно зависимы, тогда один из них есть линейная комбинация двух других. Пусть, например . Приложим векторы , , к одной и той же точке О (рис. 7), так что , , .

Предположим сначала, что векторы

, не коллинеарны; тогда несущие их прямые определяют некоторую плоскость. В этой плоскости лежат и векторы и , а значит, и весь параллелограмм, на этих векторах построенный, в частности и его диагональ . Значит все три вектора , , компланарны.

Если векторы

и коллинеарны, то коллинеарны как векторы , , так и их сумма - три вектора , , оказываются даже коллинеарными.

Если же векторы

, , компланарны, то либо один из них, например , лежит в одной плоскости с двумя другими неколлинеарными векторами (следовательно ; или ), либо все три вектора коллинеарны (следовательно ). Тем самым следствие полностью доказано.

Следствие: Если три вектора некомпланарны, то они линейно независимы.

Теорема: Любой вектор

может быть представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов , и (т.е. найдутся такие числа λ, μ, ν, что ). Такое представление единственно.

Никакие два из векторов

, и не коллинеарны, иначе все три были бы компланарны. Поэтому, если компланарен с какими-нибудь двумя из данных векторов, то наше утверждение вытекает из предыдущего следствия.

В общем случае перенесем все векторы в одну точку О (рис. 8) и проведем через конец D вектора

прямую, параллельную вектору . Она пересечет плоскость ОЕ₁Е₂ в точке Р. Очевидно, что . Согласно теореме из второго раздела и предыдущему следствию существуют такие числа λ, μ и ν, что и . Таким образом, .

Единственность коэффициентов линейной комбинации доказывается так же, как и предыдущем следствии.

Следствие: Любые четыре вектора линейно зависимы

Глава 4. Понятие базиса. Свойства вектора в данном базисе

Определение: Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Базис в пространстве позволяет однозначно сопоставить каждому вектору упорядоченную тройку чисел – коэффициенты представления этого вектора в виде линейной комбинации векторов базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел

при помощи базиса мы сопоставим вектор , если составим линейную комбинацию .

Числа

– называются компонентами (или координатами) вектора в данном базисе (записывается ).