Элементы векторного анализа (стр. 6 из 6)

Как легко видеть, выражение

стоящее под знаком поверхностного интеграла в формуле Стокса, представляет собой скалярное произведение

вихря векторного поля на единичный вектор нормали к поверхности S.

Следовательно, формулу Стокса можно представить в векторной форме следующим образом:

Левая и правая части формулы () представляют, соответственно, циркуляцию векторного поля и поток его вихря. Значит, формула Стокса утверждает: циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L равна потоку его вихря через поверхность S, натянутую на этот контур.

Можно определить проекцию вектора на любое направление следующим образом:

т.е.

есть вектор, проекция которого на любое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки τ, перпендикулярной этому направлению , к площади этой площадки, когда размеры этой площадки стремятся к нулю.

Или другими словами:

есть вектор, нормальный к поверхности, на которой плотность циркуляции достигает наибольшего значения.

Это, кроме прочего, означает и то, что вихрь поля (как и градиент, так и дивергенция) не зависит от выбора системы координат, а является характеристикой самого поля.

Отметим некоторые свойства ротора:

1˚ Если

– постоянный вектор, то

2˚

3˚

4˚ Если U – скалярная функция, а

– векторная, то

§4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Векторное поле

называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция равна нулю, т.е. Примерами соленоидальных полей являются: поле скоростей вращающегося твердого тела; магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и т.д.

Векторное поле называется безвихревым, если его ротор тождественно равен нулю в области определения поля:

Векторное поле

называется потенциальным, если оно является полем градиентов некоторой скалярной функции φ(M), т. е. В этом случае функция φ(M) называется потенциалом поля.

Имеет место важное утверждение.

Теорема

Если векторное поле

непрерывно дифференцируемо в замкнутой односвязной области V, то каждое из следующих четырёх предложений равносильно любому другому из них:

-

– потенциальное поле;

-

– безвихревое поле;

- циркуляция поля по любому замкнутому контуру, лежащему внутри области V, равна нулю;

- криволинейный интеграл

не зависит от формы пути интегрирования.

Если φ(М) – потенциал поля , то потенциалом этого поля, как легко видеть, будет и любая другая функция вида ψ(М) = φ(М) + const.

Любой потенциал φ(М) поля

очевидно, можно представить в виде:

Отметим важное свойство указанных выше специальных векторных полей.

Теорема

Произвольное векторное поле

всегда может быть представлено в виде суммы потенциального поля и соленоидального поля , т.е. .

Заметим, что для соленоидального поля можно определить векторный потенциал поля.

§5. ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА. ГАРМОНИЧСЕКИЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим дифференциальную операцию второго порядка

где U – скалярная функция. Тогда

И так как

то скалярный квадрат записывают в виде:

и, следовательно

Подобно символическому оператору Гамильтона

, можно ввести символический оператор:

называемый оператором Лапласа.

Скалярная функция φ(x; y; z) называется гармонической в некоторой области, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными

удовлетворяет уравнению

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Векторный анализ — раздел математики, изучающий вещественный анализвекторов в двух или более измерениях. Методы векторного анализа находят большее применение в физике и инженерии.

Векторный анализ изучает векторные поля — функции из n-мерного векторного пространства в m-мерное — и скалярные поля — функции из n-мерного векторного пространства во множество скаляров.

Многие из результатов векторного анализа рассматриваются как частные случаи результатов из дифференциальной геометрии.

Для получения основных соотношений, используемых в векторном анализе, оказывается практически важным рассмотрение криволинейных и поверхностных интегралов, и их геометрических приложений. Так, например, теорема Стокса в векторной форме приобретает совершенно новый физический смысл.

Практически полезным является и введение оператора Гамильтона, с его помощью удобно записывать векторные операции первого порядка (градиент, дивергенция, ротор), а также комбинации со скалярными и векторными функциями. Для введения дифференциальных операций второго порядка используется оператор Лапласа. Дифференциальное уравнение Лапласа

играет важную роль в различных разделах математической физики.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Математическим ядром теории поля являются рассмотренные нами понятия градиента, потока, потенциала, дивергенции, ротора, циркуляции и др. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Березанский Ю. М., Левитан Б. М.. Функциональный анализ/ http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/117/905.htm

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для и инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1964. – 608 с.

3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1966. – 872 с.

4. Квальвассер В.И., Фридман М.И. Теория поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. – М.: Высшая школа, 1967. – 240 с.

5. Кузнецов Д.С. Специальные функции. – М.: Высшая школа, 1965. – 424 с.

6. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов/ Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков; Под ред. В.А. Садовничего. – 4-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2004. – 640 с.

7. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие поп высшей математике. Т.3. Ч.2: Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы. Изд. 6-е. – М.: КомКнига, 2007.

8. Магазинников Л.И. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования. Учебное пособие. – Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 1999. – 205 с.

9. Панов В.Ф. Математика древняя и юная. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.

10. Письменный Д.Т. – Ч.2 – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006.

11. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 464 с.

12. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. – М.: Наука, 1969. – 800 с.

13. www.wikipedia.ru