Элементы векторного анализа (стр. 3 из 6)

Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Для того чтобы криволинейный интеграл

не зависел от пути интегрирования в односвязной области D (область без «дыр»), в которой существуют и непрерывны

и необходимо и достаточно, чтобы

Замечание. Криволинейные интегралыI и II рода связаны соотношением

где

и – углы, образованные касательной к кривой АВ в точке M(x; y) с осями Ox и Oy.

§3. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА

Пусть S - поверхность в трёхмерном пространстве Oxyz, а f(x; y; z) - непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS₁, ΔS₂, ...., ΔS_i, ..., ΔS_n, не имеющих общих внутренних точек (рис. 3). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквами S_i (i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков - через λ На каждом "элементарном" участке ΔS_i произвольным образом выберем по точке M_i(x_i; y_i; z_i) (i = 1,...,n)и составим интегральную сумму:

Определение. Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔS_i и от выбора точек M_i

ΔS_i (i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом I рода от функции

поверхности S и обозначается

Если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x; y; z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует (теорема существования).

Основные свойства криволинейного интеграла I рода:

7˚ Если

непрерывна на поверхности , то на этой поверхности существует точка (теорема о среднем значении):

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам.

Пусть выполнены условия теоремы существования, тогда, обозначив проекцию ΔS_i (и площадь проекции) на плоскость Oxy через Δτ_i, по теореме о среднем значении будем иметь:

где (x_i, y_i)

Δτ_i, а, следовательно

при данном специфическом выборе точек M_i. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции

по плоской области τ. Переходя к пределу, получаем:

Если проектировать поверхность S не на координатную плоскость Oxy, а на координатную плоскость Oxz или Oyz, то можно записать формулы для вычисления поверхностного интеграла аналогично формуле (3.5):

и

Геометрические приложения

- Площадь поверхности, заданной уравнением z=z(x; y):

- Масса поверхностиS:

где

– плотность распределения массы.

- Моменты, центр тяжести поверхности:

Глава II. Теория поля

§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Теория поля – крупный раздел, физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U=U(M), говорят, что в области определено, задано скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле – это скалярная функция U(M) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор

, то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры, атмосферного давления, плотности, электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т.д.

Если функция U(M) (

) не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным; поле, которое меняется с течением времени называется нестационарным.

Далее будем рассматривать только стационарные поля.

Если V – область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных x, y, z (координат точки M):

Наряду с обозначениями U=U(M), U=U(x; y; z), используют запись U=U(

, где радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U(M) зависит только от двух переменных, например x и y, соответствующее скалярное поле U(x; y) называют плоским.

Аналогично: вектор

можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов x, y и z: или . Вектор можно представить в виде

где P(x; y; z), Q(x; y; z), R(x; y; z) – проекции вектора

на оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyzодна из проекций вектора равна 0, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским.