Числа е та пі (стр. 8 из 9)

Оборотні члени розкладання в десятковий дріб використовуємо, округляючи їх за правилом доповнення на сьомому знаку. Тоді похибка кожного члена по абсолютній величині не більше

, а вся похибка – не більше , тому що перші три члени розкладання обчислюються точно , і будемо мати:

таким чином, похибка на відкидання всіх членів розкладання, починаючи з

(дванадцятий член розкладання), не перевершує , а похибка на округлення не більше . Звідси виходить, що загальна погрішність за абсолютним значенням дорівнює сумі

Але тоді число

знаходиться між числами й , тобто . Отже, можна покласти . Значення з 19 знаками після коми є [22]:

3.2 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби

Згідно [9] для наближеного розрахунку числа

побудований наступний ланцюговий дріб.

Теорема 3.2.1

(3.2.1)

Доведення . Визначимо

як суму ряду:

.

Цей ряд сходиться при будьяких значеннях

; однак ми будемо розглядати тільки значення , що лежать в інтервалі .

Легко перевірити , що має місце тотожність

(3.2.2)

Дійсно, коефіцієнт при

в лівій частині рівності (3.2.2) дорівнює

а в правій частині рівності (3.2.2) він дорівнює

,

так що (3.2.2) вірне.

Позначимо

через . Зокрема, оскільки

То

З тотожності рівності (3.2.1) при

одержуємо:

(3.2.3)

Оскільки

позитивно, рівність (3.2.3) показує , що при всіх

, , тобто й послідовність співвідношень (3.2.2) при

дає розкладання

в ланцюговий дріб:

(3.2.4)

Теорема доведена.

Тепер розкладемо в ланцюговий дріб число

[2].

Теорема.3.2.2

(3.2.5)

(послідовність неповних часток така: 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1,...) , тобто елементи

розкладання в ланцюговий дріб мають вигляд:

Доведення. Позначимо підходящі дроби до правої частини (3.2.4) через

, а підходящі дроби до (3.2.3) через . Доведемо , що

Беручи до уваги значення елементів ланцюгового дробу (3.2.4) , маємо:

Звідки знаходимо:

Аналогічне співвідношення маємо й для

, так що

(3.2.6)

Доведемо індукцією по

, що

(3.2.7)

З (3.2.3) і ( 3.2.4) безпосередньо обчислюємо

, так що співвідношення (3.2.7) вірно для всіх з номерами, меншими ніж , де , тобто зокрема

тоді , використовуючи рівності (3.2.6) , одержуємо:

Згідно за принципом повної математичної індукції равенство (3.2.6) вірно для всіх

.

Зовсім аналогічно доводиться, що

Розглядаючи тепер межу відносини величин

і , знаходимо:

тобто

Оскільки ланцюговий дріб у правій частині (3.2.5) сходиться, ми будемо мати також, що взагалі

, а це доводить теорему.

Теорема доведена.

ВИСНОВКИ

У даній роботі було викладено суть і історичне поява чисел

і .Так само були уведені поняття ірраціональних і трансцендентних чисел.

Число p– відношення довжини окружності до її діаметра, – величина постійна й не залежить від розмірів окружності. Число, що виражає це відношення, прийнято позначати грецькою буквою p(від «perijereia» – окружність, периферія). Це позначення стало вживаним після роботи Леонарда Ойлера, що ставиться до 1736, однак уперше воно було вжито Вільямом Джонсом (16751749) в 1706. Як і всяке ірраціональне число, воно представляється нескінченним неперіодичним десятковим дробом: p= 3,141592653589793238462643… Потреби практичних розрахунків, що ставляться до окружностей і круглих тіл, змусили вже в далекій давнині шукати для pнаближень за допомогою раціональних чисел.