Числа е та пі (стр. 7 из 9)

яка дотепер уважається однієї із кращих для наближеного обчислення p. Щоб знайти ті ж десять точних десяткових знаків, буде потрібно всього кілька годин ручного рахунку. Сам Джон Мэчин обчислив pз 100 вірними знаками.

Скористаємося відомим рядом для арктангенса [21]:

(2.1.1)

Якщо взяти

, то , і ми одержимо ряд

(2.1.2)

уже придатний для обчислення/

Скористаємось формулою додавання для арктангенса

(2.1.3)

і вибираючи в якості

і якінебудь два правильні дроби , що задовольняють співвідношенню

або (2.1.4)

будемо мати

(2.1.5)

Наприклад, поклавши

, одержимо ряд

(2.1.6)

Існують, однак, ряди, ще більш ефективні для розрахунку числа

.

Покладемо

тоді

Через близькість цього числа до

, ясно, що кут близький до .

Поклавши:

, будемо мати :

так що

Звідси

це формула Мєшина (J.Machin).

Обчислимо по ній число

з 7ю знаками після коми. Для цього досить тих членів формули, які фактично виписані. Тому що обидва ряди – типу рядів Лейбниця, то виправлення в зменшуваному й від'ємнику на відкидання невиписаних членів, відповідно, будуть:

і

Збережені члени (2.6) перетворимо у десяткові дроби, округляючи їх ( за правилом доповнення ) на восьмому знаку. Обчислення зведені в таблицю (

у дужках указує знак виправлення):

З огляду на всі виправлення, маємо:

так що

Отже , остаточно

причому всі виписані знаки вірні.

C допомогою того ж ряду для arctg x і формули

p= 24 arctg

+ 8 arctg + 4 arctg

значення числа pбуло отримано на ЕОМ з точністю до ста тисяч десяткових знаків. Такого роду обчислення становлять інтерес у зв'язку з поняттям випадкових і псевдовипадкових чисел. Статистична обробка впорядкованої сукупності зазначеної кількості знаків pпоказує, що вона має багато рис випадкової послідовності. А так виглядає 101 знак числа pбез округлення:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

2.2 Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби

Згідно [2] для наближеного розрахунку числа p побудований наступний ланцюговий дріб:

(2.2.1)

(послідовність неповних часток така: 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13,...)

Знайдемо підходящі для практичних розрахунків дроби використовуючи вищенаведений ланцюговий дроб:

а потім складемо таблицю для обчислення наступних дробів за допомогою рекуррентного правила:

Степінь дробу (за числом в ланцюгі)	3 (1)	7(2)	15(3)	1(4)
Чисельник дробу	3	22	333	355
Знаменник дробу	1	7	106	113

Одержуємо підходящі дроби

й . Наближення , рівне , було відомо ще Архімедові [21], а наближенням користувався Андріан Меций ще наприкінці 16 сторіччя [21] . Перше наближення дуже зручно тим, що знаменник 7 дуже невеликий.У другому дробі при порівняно невеликому знаменнику виходить наближене значення з високою точністю.

Щоб оцінити цю точність, використовуємо формулу [4]

(2.2.2)

У нашім випадку

, а

Виходить,

тобто точність отриманої відповіді перевищує

. Обертаючи дріб у десятковий, одержуємо:

РОЗДІЛ ІІІ

НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „е”

3.1 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою числових рядів

Обчислимо число

з точністю до з використанням ряду [20]. Запишемо ряд для :

(3.1.1)

Ця рівність має місце для кожного

.При

(3.1.2)

Насамперед установимо, яким треба взяти число

для здійснення необхідної точності. Якщо покласти наближене , то помилка буде

тому що

є прогресія, знаменник якої дорівнює (сума прогресси дорівнює , де її перший член, а знаменник).

Для здійснення необхідної точності треба, щоб

, тобто .Уже при дана нерівність задовольняється , тому що .Але тому що обіг членів розкладання для в десятковий дріб і при цьому їхнє округлення послужить джерелом нової погрішності, то в запас точності візьмемо .