Числа е та пі (стр. 4 из 9)

і оскільки

, то при нашім виборі маємо:

тобто

.

Припущення, що

раціонально, привело нас до протиріччя, отже , ірраціональне.

Теорема доведена.

Ірраціональність числа була доведена вперше в 1761 році французьким математиком Ламбертом. Доказ Ламберта заснований на застосуванні безперервних дробів.

π — трансцендентне число, це означає, що воно не може бути коренем багаточлена із цілими коефіцієнтами. Трансцендентність числа π була доведена в 1882 році професором Кьонінгзбергського, а пізніше Мюнхенського університетуЛіндеманом. Доказ спростив Феликс Клейн в 1894 році.

Для того щоб довести трансцендентність числа π доведемо спочатку три допоміжних твердження.

Лема 1.3.1. При будьякому цілому позитивному

й будьякому , має місце рівність

(1.3.6)

де

Доведення. Скористаємося розкладанням функції

в ряд

Із цього розкладання треба, щоб

де

Тому що

Лема доведена.

Лема 1.3.2 Нехай

де

Тоді

(1.3.7)

де

(1.3.8)

(1.3.9)

Покладаючи в рівності (1.3.6)

, одержимо

Помноживши ці рівності, відповідно, на

й склавши, одержимо рівність (1.3.7).

Лема 1.3.3. Сума й добуток двох алгебраїчних чисел є числами алгебраїчними (і притім цілими алгебраїчними, якщо такими є доданки й множники).

Доведення. Дійсно нехай

алгебраїчне число, що є коренем рівняння ого ступеня з раціональними коефіцієнтами й інших корінів цього рівняння й нехай – алгебраїчне число , що є коренем рівняння ой ступеня з раціональними коефіцієнтами , а – інших корінів цього рівняння.

Добуток всіх різниць виду

, мабуть, є багаточленом, одним з корінів якого є . Отже, нам досить переконатися в тім, що коефіцієнти цього багаточлена суть раціональні числа. Але ці коефіцієнти суть симетричні функції від аргументів і аргументів . Застосовуючи двічі теорему про симетрію функції (“Якщо симетрична функція є багаточленом і корінь рівняння те де багаточлен. Зокрема, якщо коефіцієнти багаточлена цілі числа , то коефіцієнти багаточлена теж цілі числа ” [9], ми переконаємося в справедливості нашого твердження про добуток алгебраїчних чисел. Аналогічно доводиться твердження про суму

Тепер перейдемо до доказу самої теореми, що

транcцендентне число.

Теорема.

транcцендентне число.

Доведення. Нехай

алгебраїчне число . На підставі леми 1.3.3 число теж алгебраїчне й отже, єкорнем рівняння виду

(1.3.10)

з цілими коефіцієнтами. Нехай

корінь цього рівняння , одним з них є . Тому що , то

(1.3.11)

Розкривши дужки в лівій частині цієї рівності , одержимо

(1.3.12)

Позначимо через

ті з показників , які відмінні від нуля , а через інші. Приєднавши відповідні доданки в лівій частині (1.3.12) до першого, можемо записати рівність (1.3.12) у вигляді

(1.3.13)

де

ціле позитивне число.

Числа

суть цілі алгебраїчні числа, тому згідно лемі (1.3.3) цілими алгебраїчними числами є й числа

Дуже важливо помітити , що якщо

симетричний багаточлен із цілими коефіцієнтами , те ціле число

Дійсно, якщо

то буде також

тому що кожна із сум, що коштують у правій частині другої рівності, відрізняється від відповідної суми першої рівності, що складаються або рівними

або утримуючого цього числа як множники, а числа дорівнюють нулю.

Вираз в правій частині останньої рівності є симетричним багаточленом відносно

й отже , відносно . На підставі теореми [20]: “Якщо симетричний багаточлен із цілими коефіцієнтами й корінь уранения із цілими коефіцієнтами, тj ціле число ” , треба, щоб було цілим числом.