Эконометрика как наука Содержание, цели, задачи, направления развития (стр. 4 из 7)
Образованная последовательность плюсов и минусов характеризуется общим числом серий n(Т) и протяженностью самой длинной серии t(Т). При этом под «серией» понимается последовательность подряд идущих плюсов и подряд идущих минусов. Если исследуемый ряд состоит из статистически независимых наблюдений, случайно варьирующих около некоторого постоянного уровня (т.е. справедлива гипотеза (П2.6)), то чередование «+» и «-» в построенной последовательности должно быть случайным, т.е. эта последовательность не должна содержать слишком длинных серий подряд идущих «+» или «-», и, соответственно, общее число серий не должно быть слишком малым. Так что в данном критерии целесообразно рассматривать одновременно пару критических статистик (n(Т); t(Т)).
Справедлив следующий приближенный статистический критерия проверки гипотезы Н0,выраженной соотношением (П2.6): если хотя бы одно из неравенств
окажется нарушенным, то гипотеза (П2.6) отвергается с вероятностью ошибки a, такой, что 0,05 < a< 0,0975 и, тем самым, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей в разложении (1.1.1).Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий. Этот критерий «улавливает» постепенное смещение среднего значения в исследуемом распределении не только монотонного, но и более общего, например, периодического характера.
Так же, как и в предыдущем критерии, исследуется последовательность знаков - плюсов и минусов, однако правило образования этой последовательности в данном критерии иное. Здесь на i-ом месте вспомогательной последовательности ставится «+», если xi+1-xi > 0, и «-»с, если xi+1-xi < 0 (если два или несколько следующих друг за другом наблюдений равны между собой, то принимается во внимание только одно из них). Последовательность подряд идущих «+» (восходящая серия) будет соответствовать возрастанию результатов наблюдения, а последовательность «-» (нисходящая серия) - их убыванию. Критерий основан на том же соображении, что и предыдущий: если выборка случайна, то в образованной последовательности знаков общее число серий не может быть слишком малым, а их протяженность - слишком большой.
При уровне значимости 0,05 < a< 0,0975 критерий вид:
(П2.7)где величина t0(Т) определяется следующим образом:
| Т | Т£ 26 | 26 < Т£ 153 | 153 < Т£ 1170 |
| t0(Т) | t0 = 5 | t0 = 6 | t0 = 7 |
Если хотя бы одно из неравенств (П2.7) окажется нарушенным, то гипотезу (П2.6) следует отвергнуть.
Критерий квадратов последовательных разностей (критерий Аббе). Если есть основания полагать, что случайный разброс наблюдений x(t) относительно своих средних значений подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, то для выяснения вопроса о возможном систематическом смещении среднего в ходе выборочного обследования целесообразно воспользоваться критерием Аббе, являющимся в этом случае более мощным.
Для проверки гипотезы (П2.6) с помощью данного критерия подсчитывают величину
, где 
Если 
то гипотеза (П2.6) отвергается. При этом величина 
для T > 60 подсчитывается как 
где ua-a-квантиль нормированного нормального распределения. Величины при T££ 60 для трех наиболее употребительных значений уровня значимости приведены в табл. 4.9 книги [Большев, Смирнов (1965)].П2.2.2. Методы сглаживания временного ряда (выделение неслучайной составляющей)
Методы выделения неслучайной составляющей в траектории, отражающей поведение временного ряда, подразделяются на два типа.
Методы первого типа (аналитические) основаны на допущении, что известен общий вид неслучайной составляющей в разложении (1.1.1)
f(t) = c1fтр(t) + c2j(t) +c3y(t). (П2.8)
Например, если известно, что неслучайная составляющая временного ряда описывается линейной функцией времени f(t) = q0 +q1t, где q0 и q1- некоторые неизвестные параметры модели, то задача ее выделения (задача элиминирования случайных остатков или задача сглаживания временного ряда) сводится к задаче построения хороших оценок
и 
для параметров модели.Методы второго типа (алгоритмические) не связаны ограничительным допущением о том, что общий аналитический вид искомой функции (П2.8) известен исследователю. В этом смысле они являются более гибкими, более привлекательными. Однако «на выходе» задачи они предлагают исследователю лишь алгоритм расчета оценки
для искомой функции f(t) в любой наперед заданной точке t и не претендуют на аналитическое представление функции (П2.8).Аналитические методы выделения (оценки) неслучайной составляющей временного ряда. Эти методы реализуются в рамках моделей регрессии, в которых в роли зависимой переменной выступает переменная xt, а в роли единственной объясняющей переменной - время t. Таким образом, рассматривается модель регрессии вида
xt= f(t, q) + et, t = 1,…, T,
в которой общий вид функции f(t, q) известен, но неизвестны значения параметров q= (q0, q1,…, qm). Оценки параметров
строятся по наблюдениям 
. Выбор метода оценивания зависит от гипотетического вида функции f(t, q) и стохастической природы случайных регрессионных остатков et.Алгоритмические методы выделения неслучайной составляющей временного ряда (методы скользящего среднего). В основе этих методов элиминирования случайных флуктуаций в поведении анализируемого временного ряда лежит простая идея: если «индивидуальный» разброс значений члена временного ряда xt около своего среднего (сглаженного) значения a характеризуется дисперсией s2, то разброс среднего из N членов временного ряда (x1 + x2 +…+ xT) / N около того же значения a будет характеризоваться гораздо меньшей величиной дисперсии, а именно дисперсией, равной s2 / N. А уменьшение меры случайного разброса (дисперсии) и означает как раз сглаживание соответствующей траектории. Поэтому выбирают некоторую нечетную «длину усреднения» N = 2m + 1, измеренную в числе подряд идущих членов анализируемого временного ряда. А затем сглаженное значение
временного ряда xt вычисляют по значениям xt-m, xt-m+1,…, xt, xt+1,…, xt+m по формуле 
(П2.9)где wk (k = -m, -m + 1,…, m) - некоторые положительные «весовые» коэффициенты, в сумме равные единице, т.е. wk > 0 и
. Поскольку, изменяя t от m + 1 до T-m, мы как бы «скользим» по оси времени, то и методы, основанные на формуле (П2.9), принято называть методами скользящей средней (МСС).Очевидно, один МСС отличается от другого выбором параметров m и wk.
Определение параметров wk основано на следующей процедуре. В соответствии с теоремой Вейерштрасса любая гладкая функция f(x) при самых общих допущениях может быть локально представлена алгебраическим полиномом подходящей степени p. Поэтому берем первые 2m + 1 членов временного ряда x1,…, x2m+1, строим с помощью МНК полином
степени p, аппроксимирующий поведение этой начальной части траектории временного ряда, и используем этот полином для определения оценки сглаженного значения f(t) временного ряда в средней (т.е. (m + 1)-й) точке этого отрезка ряда, т.е. полагаем 
. Затем «скользим» по оси времени на один такт и таким же способом подбираем полином 
той же степени p к отрезку временного ряда x2,…, xm+2 и определяем оценку сглаженного значения временного ряда в средней точке сдвинутого на единицу отрезка временного ряда, т.е. 
, и т.д.