Обратные тригонометрические функции (стр. 4 из 6)

и

Так как

- интервал монотонности тангенса, то уравнение равносильно уравнению

Переходя к уравнению

можно потерять те корни, для которых

и не существует. В данном случае этого не произойдет, поскольку

А правые части существуют всегда. Получаем уравнение

которое после преобразований принимает вид

Так как уравнение

не имеет решений, то остается

Ответ:

Подход (II): Пусть исходное уравнение содержит более двух аркфункций. В этом случае равносильность преобразований сохраняется при использовании следующих схем решения:

(II.1)

(II.2)

При решении задач проверка неравенств

или не вызывает сложностей и сводится к сопоставлению областей изменения входящих в уравнение аркфункций.

Задача 4. Решить уравнение:

Решение: Положим

Исходное уравнение равносильно системе:

Так как

то достаточно убедиться, что

Правое неравенство верно в силу границ изменения арктангенса. Левая часть неравенства следует из того, что

при

Ответ:

Задача 5. Решить уравнение:

Решение: Положим

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

(*)

Последнее неравенство с очевидностью следует из неравенств

задающих промежутки изменения переменных. Поэтому система (*) равносильна следующей системе:

Корень первого уравнения системы

является решением исходного уравнения. После сокращения первого уравнения на возводим его в квадрат.

Так как

То

Ответ:

Задача 6. Решить уравнение

Решение: Пусть

Так как

то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:

или

После упрощений получим уравнение

имеющее единственный корень

Делаем проверку и убеждаемся, что является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.

Ответ:

Задача 7. Решить уравнение

Решение: Введем обозначения

Данное уравнение принимает вид

или Обе части уравнения лежат в интервале Если взять котангенсы от обеих частей уравнения, то можно потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это – единственное значение из интервала в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство Если то откуда и При получаем, что Таким образом, - корень уравнения.

Если

то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:

Что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв скобки и подставив выражения тригонометрических функций

и через получим уравнение

которое равносильно системе

Получаем два значения неизвестного:

Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют данному уравнению.

Подход (III): Для упрощения исходного уравнения во многих случаях удобно переходить от одних аркфункций к другим (например, от арксинуса или арккосинуса к арктангенсу). При этом, наряду с формулами (14), можно использовать следующие формулы:

(15)

Задача 8. Решить уравнение:

Решение: Заметим, что

не удовлетворяет данному уравнению. Поэтому, в силу формул (15),