Обратные тригонометрические функции (стр. 3 из 6)
.Формулы данной группы наиболее часто используются при решении тригонометрических уравнений.
2.
Вывод: По определению
и 
Заметим, что
По формуле приведения имеем 
Итак, аргументы 
и 
заключены в отрезке 
в котором синус монотонно возрастает от -1 до +1, и имеют одинаковый синус, равный 
. Следовательно, сами аргументы также равны, т.е. 
откуда и получаем тождество 
3.
Вывод: Пусть
Тогда 
(1’)Равенство (1’) вместе с исходным равенством равносильны следующим равенствам:
(2’)Эти равенства вытекают из самого определения обратных тригонометрических функций.
Так как левые части всех равенств (2’) равны между собой, то равны и их правые части.
4.
5.
6.
2.2. Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции
Традиционные способы решения уравнений с обратными тригонометрическими функциями (аркфункциями) сводятся к вычислению какой-нибудь тригонометрической функции от обеих частей с последующим преобразованием полученных суперпозиций по известным тригонометрическим формулам и формулам приведенных ниже:
(13) 
Формулы (13) легко выводятся из определений аркфункций и основных тригонометрических тождеств. Приведенные формулы можно дополнить подобными им формулами, полученными на основе двух тождеств
(14) 
и формул приведения.
Основным недостатком упомянутых способов решения является нарушение равносильности уравнения в процессе его преобразования, вследствие чего можно ожидать появления “лишних” корней. Выявление лишних решений путем подстановки в исходное уравнение зачастую вызывает большие трудности либо а) из-за сложности вычислений не табличных значений аркфункций, либо б) в связи с тем, что полученное множество решений бесконечно.
Существует метод решения уравнения с аркфункциями, в процессе которого “лишние” корни вообще не возникают. Метод реализуется в трех приводимых ниже подходах, которые различаются в зависимости от числа аркфункций, участвующих в уравнении.
Подход(I):Исходное уравнение содержит две аркфункции. Разнесем их в разные части уравнения. Зададим двумя неравенствами области изменения левой и правой части уравнения. Ввиду монотонности аркфункций эти неравенства легко разрешаются относительно аргументов указанных функций. Решение последней системы неравенств и определяет тот промежуток, которому принадлежат корни исходного уравнения.
Задача 1.Решить уравнение
Решение: Для сравнения воспользуемся сначала традиционной схемой решения.
ОДЗ:
Далее,
С учетом ОДЗ,
В полученном интервале содержится бесконечное множество “лишних” решений, удаление которых превращается здесь в отдельную задачу.
Альтернативное решение, использующее метод (I):
Положим
Так как 
и 
то исходное уравнение равносильно следующей системе: 
Ответ:
Задача 2. Решить уравнение
Решение: Положим
Перепишем уравнение в виде: 
Так как
то исходное уравнение равносильно системе: 
Ответ:
Задача 3. Решить уравнение
Решение: Обозначим
Так как
и 
то 
и 
Уравнение принимает вид
причем