Обратные тригонометрические функции (стр. 2 из 6)
В промежутке
функция 
монотонна (возрастает от - 
до 
), следовательно, для функции (1) существует обратная функция: 
, 
, (8)т.е. каждому данному значению
(величины тангенса) из промежутка 
соответствует одно вполне определенное значение 
(величины дуги) из промежутка .Переходя к общепринятым обозначениям, получаем
, 
. (9)Это и есть аналитическое задание функции, обратной (7). Функция (9) называется арктангенсом аргумента х. Отметим, что при
значение функции 
, а при 
, т.е. график функции имеет две асимптоты: 
и 
.Функция
, , обладает следующими свойствами.Свойство 1. Область изменения значений функции
.Свойство 2. Функция
– нечетная, т.е. 
.Свойство 3. Функция
имеет единственный корень 
.Свойство 4. Если
, то 
; если 
, то 
.Свойство 5. Функция
монотонна: при возрастании аргумента от 
до значения функции возрастают от 
до + . 
1.4. Функция y = arcctgx
Рассмотрим функцию
, 
. (10)Эта функция определена для всех значений
, лежащих внутри промежутка от 0 до ; на концах этого промежутка она не существует, поскольку значения и 
- точки разрыва котангенса. В промежутке (0, ) функция монотонна (убывает от до ), следовательно, для функции (1) существует обратная функция 
, 
, (11)т.е. каждому данному значению
(величины котангенса) из промежутка ( 
) соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка (0, ). Переходя к общепринятым обозначениям, получаем , . (12)Это и есть аналитическое задание функции, обратной (10). Функция (12) называется арккотангенсом аргумента
.График функции имеет две асимптоты:
и 
.Функция
, , обладает следующими свойствами.Свойство 1. Область изменения значений функции:
.Свойство 2. Величины
и 
связаны соотношением 
.Свойство 3. Функция
корней не имеет.Свойство 4. Функция
отрицательных значений не принимает.Свойство 5. Функция
монотонна: при возрастании от до значения функции убывают от до 0. 
Глава II. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями
2.1. Основные соотношения
Приведем 6 групп формул, которые могут значительно облегчить решение задач, содержащих основные тригонометрические функции:
1.
; 
; 
