Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характерис (стр. 2 из 2)

Подставляя значения

в равенство (14) и делая несложные преобразования, получаем:

(15)

Учитывая (15) в равенстве (7), будем иметь:

(16)

где обозначено

(17)

(18)

(19)

Введем вспомогательную функцию

по формуле :

(20)

Легко заметить, что функция

и в точке x=0 обращается в нуль порядка выше e, а при x=1 может обращаться в бесконечность порядка выше (1-e) относительно x и (1-x) соответственно. Из равенства (20) однозначно определяется функция :

(21)

Учитывая значение функции

из равенства (21), в интегралах в правой части (16) получаем:

.

Обозначим

. (22)

Тогда окончательно имеем:

.

Аналогично находим, что

,

где обозначено

, (23)

; (24)

. (25)

Используя известное тождество [3],

,

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, уравнение (16) с учетом (5`), (17) – (19), (22) – (25) и делая несложные преобразования, приводится к сингулярному интегральному уравнению [1, 3]:

(26)

где сингулярный оператор S задаётся формулой:

,

, ,

,

, , – известные функции, ограниченные соответственно на 0 £ t £ x £ 1, 0 £ x £ t £ 1, 0 £ x £ 1, причем , .

Производя регуляризацию уравнения (26) по методу Карлемана – Векуа [4] и делая несложные преобразования, оно приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода [2]:

, (27)

где

причем ядро и функция ограниченные соответственно при, 0£ x, t£ 1, 0£ x£ 1.

Следуя [2], обозначим через

– множество функций , непрерывных всюду кроме быть может точек x=0, (x=1) и удовлетворяющих условию где , – целая часть , – целая часть [1].

В работе [2] найдены необходимые и достаточные условия существования решения уравнения (27) в классе

.

Функция

, определенная формулой (21), принадлежит классу искомых решений интегрального уравнения (8).

После определения

, функция задаётся формулой (12). Таким образом, в области приходим к задаче [6]: найти регулярное в области решение уравнения (1), непрерывное вместе с производной в замкнутой области и удовлетворяющее граничным условиям (4) и .

Решение этой задачи задается формулой :

где

– функция Грина этой задачи для уравнения

. (28)

Функция Грина выражается через фундаментальные решения уравнения (28), которые имеют вид:

где

;

;

– функция Бесселя. Функции , называются функциями Эйри и удовлетворяют уравнению . Основные свойства функций и , их оценки вместе с частными производными порядка больше 1, приведены в [7].

Список литературы

Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972.

Wolfersdorf L. Mfth. Zeitschr., 90,1,1965.

Езаова А.Г. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.// Нальчик, вестник КБГУ, серия «математические науки». Вып. 3, 2003.

Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.

Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов. Ташкент, Фан, 1979.

Kattabriga L. Un problem al kontrono per ulna education did or dine despair // Anal Della scholar normal did pisafisa mat. 1959. №2.