Введение в математический анализ (стр. 4 из 4)

Таким образом, при

функция имеет устранимый разрыв. Он будет устранён, если условиться, что при

при всех значениях x, не исключая и . В этом случае графиком функции будет прямая линия .

Пример 29. Доказать, что функция

непрерывна в точке .

Решение. Находим

.

Значит, функция

непрерывна в точке .

Пример 30. Исследовать на непрерывность функцию

и изобразить график функции в окрестностях точки разрыва.

Решение. Знаменатель

при обращается в ноль, и значит, при не существует. Следовательно, точка разрыва функции.

Для определения типа разрыва надо найти пределы функции слева и справа при

.

Таким образом, пределы функции слева и справа при

равны между собой, но в точке функция не определена, значит, имеем устранимый разрыв. График функции в окрестности точки разрыва изображён на рис. 6

Рис. 6

Доопределив функцию

в точке , положив , получим непрерывную функцию