Введение в математический анализ (стр. 2 из 4)
Пример 4. Найти область определения функции
.Решение. Функция определена, если x – 1 ≠ 0 и 1+ x > 0, т.е. если x ≠ 1 и x > – 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: ( – 1, 1) и (1, + ∞).
Пример 5. Найти область определения функции
Решение. Первое слагаемое
принимает вещественные значения при 1 –2x ≥ 0, а второе при 
. Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: 
Получаем 
Следовательно, областью определения будет сегмент 
.ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
При построении графиков функций применяются следующие приёмы:
а) построение «по точкам»;
б) действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графиков);
в) преобразования графиков (сдвиг, растяжение).
Исходя из графика функции y = f(x), можно построить графики функций:
1) y = f(x – a) – первоначальный график, сдвинутый вдоль оси Оx на величину a;
2) y = f(x) + b – тот же график, сдвинутый вдоль оси Oy на величину b;
3) y = A· f(x) – исходный график, растянутый в A раз вдоль оси Oy;
4) y = f(kx) – тот же график, сжатый в kраз вдоль оси Ox.
Таким образом, можно по графику функции y = f(x) построить график функции вида
. 
Рис. 1
Пример 6. Построить график функции y = 2x + 1 + cosx.
Решение. График данной функции можно построить путём сложения графиков двух функций: y = 2x + 1, y = cosx. График первой функции есть прямая, её можно построить по двум точкам, график второй функции–косинусоида(Рис. 1).
Пример 7. Построить график функции
Решение. При x < 3 графиком является луч прямой, а при x ≥ 3 – ветвь параболы. Искомый график изображен на рис. 2.
Рис. 2
Пример 8. Построить график функции y = 2 sin (2x – 1) или
Решение. Здесь
Исходный график y = sinx. Затем строим график функции y = sin 2x путём сжатия вдоль оси абсцисс в два раза. После этого строим график функции 
путём сдвига 
вправо и, наконец, искомый график функции y = 2 sin (2x – 1) путём растяжения вдоль оси ординат графика (3) в два раза (рис. 3). 
Рис.3
ПРЕДЕЛЫ
Число а называется пределом последовательности
если для всякого сколь угодно малого положительного числа ε найдётся такое положительное число N, что 
при n > N. 
Число A называется пределом функцииf(x) при x → a, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что ׀f(x) – A׀ < ε при
. 
где M – произвольное положительное число .
В этом случае функция f(x) называется бесконечно большой величиной при x → a.
величиной при x→ a.Если x < a и x → a, то условно пишут x → a – 0; если x > a и x → a, то пишут x → a + 0.
делом функции f(x) в точке a.
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
4) 
5)
при ( 
)Используются также первый и второй замечательные пределы:
1)
2)
Логарифм числа x по основанию e называется натуральнымлогарифмом и обозначается lnx.
При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:
Пример 9. Показать, что при n→∞ последовательность
имеет пределом число 2.Решение. Здесь n–й член последовательности
. Следовательно, 
. Зададим заранее положительное число ε. Выберем n настолько большим, что будет выполняться неравенство 1/n < ε. Для этого достаточно принять n > 1/ε. При таком выборе n будем иметь 
. Следовательно, 
.Пример 10. Показать, что при n → ∞ последовательность 7/3, 10/5,
13/7, . . . , (3n + 4) /(2n + 1), . . . имеет пределом число 3/2.
Решение. Здесь
3/2 = (3n + 4) /(2n + 1) – 3/2 = 5/ 
. Определим, при каком значении n выполняется неравенство5/
; так как 2(2n + 1) > 5/ε, то n > 5/4ε – 1/2. 
Положив ε = 0,1, заключаем, что неравенство
выполняется при n > 12 (например, при n = 13).Неравенство
выполняется при n > 124,5 (например, при n = 125).Неравенство
выполняется при n > 1249,5 (например, при n = 1250).Пример 11.
Решение. Так как x → 4, то числитель дроби стремится к числу
5 · 4 + 2 = 22, а знаменатель к числу 2 · 4 + 3 = 11.
Пример 12.
Решение. Числитель и знаменатель дроби безгранично возрастают при
x → ∞. В таком случае говорят, что здесь имеет место неопределённость вида
.Разделив на xчислитель и знаменатель дроби, получаем
Пример 13.
Решение. Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю при
x → 3 (принято говорить, что получается неопределённость вида
.