Тема 1. Предел функции
Число А называется пределом функции

при

, стремящимся к

, если для любого положительного числа

(

>0) найдется такое положительное число

>0 (зависящее в общем случае от

), что для всех

, не равных

и удовлетворяющих условию x

x<

, выполняется неравенство x

А x<

.
Для предела функции вводится обозначение

=А.
Пределы функций обладают следующими основными свойствами:
Функция не может иметь более одного предела.
Если

= С (постоянная), то

С.
Если существует

А, то для любого числа

верно:

Если существуют

А и

В, то

=

АВ,

а если В

0, то

.
Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления непрерывной функции, т. е. справедлива формула

Если функция

непрерывна в точке

, то искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. он находится непосредственной подстановкой предельного значения переменной вместо аргумента

:

Функция

(

называется бесконечно малой величиной при

, если ее предел равен нулю:

Функция

называется бесконечно большой величиной при

, если

Пример 1.

9.
Пример 2.

.
В рассмотренных примерах предел находился сразу: в виде числа или символа

(бесконечность). Но чаще при вычислении пределов мы встречаемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела не ясен, например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение

) или бесконечно больших (

).Кроме названных встречаются неопределенности вида

Для раскрытия неопределенностей используются специальные приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в математике и поэтому называются замечательными:
- первый замечательный предел

-второй замечательный предел

(число Эйлера).
Пример 3.

.
Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида

:

.
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни многочлена, стоящего в числителе. Для этого составим уравнение второй степени

и найдем его решение:

Тогда для квадратного трехчлена справедливо разложение на множители

.
Аналогичные действия выполним для многочлена, стоящего в знаменателе.
Уравнение

имеет решения

и знаменатель представляется в виде:

Сократим дробь на множитель

и вычислим ее при

Пример 4.

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что возникает неопределенность вида

. Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение

, являющееся сопряженным к знаменателю

=

.
Пример 5.

.
Решение. Имеем неопределенность вида

. Разделим числитель и знаменатель на

(в более общем случае, когда числитель и знаменатель представляют многочлены разных степеней, делят на

с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя). Используя свойства пределов, получим:

.
Пример 6.

.
Решение. При

имеем неопределенность вида

. Представим

, разделим и умножим числитель и знаменатель на числа 2, 5 и

, тогда предел преобразуется к виду:

.
Пользуясь свойствами пределов и первым замечательным пределом, далее имеем:

.