Исследование функций и построение их графиков (стр. 9 из 10)

Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

В случае, когда искомая функция зависит от одной переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В общем виде оно записывается:

. (1)

Порядок

старшей производной искомой функции, входящей в запись уравнения (1), называется порядком дифференциального уравнения.

Решением уравнения называется такая функция

, которая при подстановке ее в уравнение (1) обращает его в тождество. Задача нахождения решения ДУ называется задачей интегрирования данного ДУ, а график решения ДУ называется интегральной кривой.

Общим решением ДУ вида (1)

- го порядка называется функция

где

- произвольные постоянные.

Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при конкретных числовых значениях постоянных

Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, записывается в общем виде

. (2)

Его общим решением является функция одной произвольной постоянной

. (3)

Для получения однозначного решения требуется задать начальное условие, которое геометрически представляет собой задание точки плоскости, через которую проходит данная интегральная кривая. Например, оно может быть записано в виде

=const.

С использованием данного условия общее решение (3) запишется

что позволяет определить из полученного соотношения конкретное значение постоянной

и тем самым получить некоторое частное решение уравнения (2).

ДУ 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

. (4)

Для нахождения общего решения такого уравнения его преобразовывают к виду, в котором дифференциал

и функция

окажутся в одной части уравнения, а

- в другой:

. (5)

Затем интегрируются обе части полученного равенства (с одной общей постоянной)

Пример 1. Найти общее решение следующего ДУ:

Решение. Сначала преобразуем уравнение к виду (4)

а затем к виду (5):

Найдем интеграл от левой части. Для этого представим подынтегральную функцию в виде следующей суммы

Приравнивая числители, получаем

Найдем из последнего равенства

, последовательно положив в нем

=0 и

=-1:

При

=0 имеем

=1, а при

= -1 получаем

=-1.

Отсюда

Интеграл от правой части

является табличным и равен

Запишем произвольную постоянную в виде

Тогда

Отсюда

или

Разрешая относительно

, окончательно получаем общее решение уравнения

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно имеет вид

. (6)

Если

0, то уравнение (6) называют однородным, в противном случае – неоднородным.

Один из вариантов решения уравнения (6) сводится к представлению решения в виде произведения двух функций

, (7)

одна из которых является произвольной, а другая определяется из уравнения (6).

Так как

, (8)

то подставляя (7) и (8) в уравнение (6), получим:

. (9)

Полагая функцию

произвольной, найдем ее из условия равенства нулю выражения в круглых скобках уравнения (9), т.е. как частное решение уравнения:

которое является уравнением с разделяющимся переменным.

Тогда при определенной

) можно найти функцию

из оставшейся упрощенной (из-за равенства нулю выражение в круглой скобке) части уравнения (9):

которая также является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Найденные

определяют общее решение

исходного дифференциального уравнения.

Пример 2.Найти общее и частное решение уравнения

с начальным условием

Решение. Разделим левую и правую часть на

Получили линейное неоднородное уравнение.

Пусть

, тогда

и исходное уравнение примет вид:

или

. (10)

Потребуем:

, т.е.

Отсюда, разделяя переменные

и проинтегрировав

получим общее решение

и частное (например, положив

= 0)

или