Исследование функций и построение их графиков (стр. 8 из 10)

Решение. Воспользуемся табличным интегралом от степенной функции (п.3 в таб.7) для

:

Проверим правильность вычисления дифференцированием правой части

.

Получена подынтегральная функция, что говорит о правильном нахождении неопределенного интеграла.

При вычислении неопределенных интегралов приведенную таблицу дополняют специальными приемами и методами интегрирования, два из которых рассмотрены ниже.

Интегрирование заменой переменной (подстановкой)

Замена переменной – один из самых эффективных приемов интегрирования, который основывается на следующем.

Пусть требуется найти

В ряде случаев удается выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию , что имеет место равенство , причем функция легко интегрируется, т.е.

Тогда

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл и в ряде случаев свести его к табличному.

Пример 2. Найти

Решение. Положим

. Тогда . Умножим и разделим исходный интеграл на число 3 и выполним следующие преобразования

Полученный интеграл относится к табличным и, следовательно,

Сделаем проверку дифференцированием:

.

Полученная производная совпадает с подынтегральной функцией исходного

интеграла, что говорит о правильности вычислений.

Пример 3. Вычислить

Решение. Чтобы выявить замену, посредством которой может быть вычислен этот интеграл, преобразуем его к виду

Если положить

, тогда и в результате получим

Интегрирование по частям

Этот метод основывается на следующем утверждении. Пусть функции

дифференцируемы и существует первообразная для функции Тогда существует первообразная и для функции

причем справедлива формула

,

называемая формулой интегрирования по частям.

Пример 4. Найти

Решение. Положим

Тогда

Произвольную постоянную

в этих случаях исключают и записывают

Теперь, применяя формулу интегрирования по частям, получим

Иногда формулу интегрирования по частям приходится применять неоднократно.

Пример 5. Вычислить

Решение. Полагая

, имеем

, .

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

Степень переменной

в подынтегральном выражении уменьшилась на единицу. Повторим применение формулы интегрирования по частям. Поло-

жим

Отсюда

Тогда

+

Вопросы для самоконтроля

Дайте определение первообразной функции.

Что называют неопределенным интегралом?

Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

В чем суть приема, называемого заменой переменной?

На чем основан метод интегрирования по частям?

Задачи для самостоятельной работы

Найти неопределенные интегралы, результаты проверить дифференцированием:

Номер варианта	А)	Б)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Тема 6. Дифференциальные уравнения 1-го порядка