Их сумма

является функцией общего вида, так как

не равна

и

.
Асимптотой графика функции

называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (

;

) плоскости до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Различают вертикальные (а), горизонтальные (б) и наклонные (в) асимптоты.

2
а)

б)

в)

Вертикальные асимптоты функции следует искать либо в точках разрыва второго рода (хотя бы один из односторонних пределов функции равен в точке бесконечности или не существует), либо на концах ее области определения (a,b), если a,b –конечные числа.
Если функция

определена на всей числовой оси и существует конечный предел

, либо

, то прямая, задаваемая уравнением

, является правосторонней горизонтальной асимптотой, а прямая

- левосторонней горизонтальной асимптотой.
Если существуют конечные пределы

и

,
то прямая

является наклонной асимптотой графика функции. Наклонная асимптота также может быть правосторонней (

) или левосторонней (

).
Функция

называется возрастающей на множестве

, если для любых

, таких, что

>

, выполняется неравенство:

>

(убывающей, если при этом:

<

).
Множество

в этом случае называют интервалом монотонности функции.
Справедливо следующее достаточное условие монотонности функции: если производная дифференцируемой функции внутри множества

положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом множестве.
Пример 5. Дана функция

. Найти ее интервалы возрастания и убывания.
Решение. Найдем ее производную

. Очевидно, что

>0 при

>3 и

<0 при

<3. Отсюда функция убывает на интервале (

;3) и возрастает на (3;

).
Точка

называется точкой локального максимума (минимума) функции

, если в некоторой окрестности точки

выполняется неравенство

(

).
Значение функции в точке

называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремум функции.
Для того, чтобы функция

имела экстремум в точке

необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (

) или не существовала.
Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. В стационарной точке не обязательно должен быть экстремум функции. Для нахождения экстремумов требуется дополнительно исследовать стационарные точки функции, например, путем использования достаточных условий экстремума.
Первое из них заключается в том, что если при переходе через стационарную точку

слева направо производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то в точке достигается локальный максимум. Если знак изменяется с минуса на плюс, то это точка минимума функции.
Если же изменение знака производной при переходе через исследуемую точку не происходит, то в данной точке экстремума нет.
Второе достаточное условие экстремума функции в стационарной точке использует вторую производную функции: если

<0, то

является точкой максимума, а если

>0, то

- точка минимума. При

=0 вопрос о типе экстремума остается открытым.
Функция

называется выпуклой (вогнутой) на множестве

, если для любых двух значений

выполняется неравенство:

.