Исследование функций и построение их графиков (стр. 3 из 10)

Если

и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной :

Если функция, производную которой нужно найти, представляет из себя комбинацию элементарных функций, то для вычисления производной применяются правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций, приводимая ниже.

Таблица 2.

№	функция	производная	№	функция	производная
1			7		1/
2			8		-1/
3		1/	9		1/( )
4			10		-1/( )
5			11		1/(1+ )
6		-	12		-1/(1+ )

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Представим ее как сложную функцию. Пусть

, тогда и . Найдем производную по промежуточному аргументу как степенной функции

.

В свою очередь, промежуточный аргумент

представляется в виде суммы двух степенных функций минус постоянная, поэтому, используя правила 1-3,по-лучим

=

.

Отсюда производная искомой функции

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Обозначим

, . Тогда и искомая производная находится из формулы .

Производную

находим из таблицы производных элементарных функций

.

Второй сомножитель

представляет производную от степенной функции

Наконец, последняя производная

находится по правилам дифференцирования частного

=

= .

В итоге получаем искомую производную

.

Пример 3. Наити производную

.

Решение. Производная суммы двух функций есть сумма их производных

.

Для нахождения производной первого слагаемого

обозначим , .

Тогда

,

=

Производную второго слагаемого

найдем по правилу дифференцирования степенно-показательной функции. Прологарифмируем функцию : Дифференцируем левую и правую часть полученного равенства

Отсюда

Наконец, находим производную искомой функции

Пример 4. На основе опытных данных построена математическая модель спроса

населения на некоторый товар в зависимости от цены :

.

Определить эластичность спроса при

(в условных денежных един.).

Решение. Эластичностью спроса

называют предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены при :

.

Если

>1, то спрос называют эластичным, при <1 – неэластичным, а при нейтральным.

Найдем производную

.

Тогда

.

Определим эластичность спроса при

: . Таким образом, при такой цене имеем неэластичный спрос.

Правило Лопиталя. При нахождении пределов функций (тема 1) неопределенности вида

можно исключить, применяя правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т. е.