Исследование функций и построение их графиков (стр. 2 из 10)

Пример 7.

.

Решение. Имеем неопределенность вида [

], так как

, а .

Выделим у дроби целую часть

.

Введем новую переменную

и выразим отсюда через : . Тогда

Заметим, что при

переменная . Теперь, переходя к новой переменной и используя второй замечательный предел, получим:

=

.

Неопределенности вида

путем алгебраических преобразований приводятся к виду . Неопределенности вида , можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующую функцию. Неопределенности вида можно исключить, используя правило Лопиталя, которое изложено в конце темы 2.

Пример 8. Первоначальный вклад в банк составил

денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно % годовых. Необходимо найти размер вклада через лет при непрерывном начислении процентов. Решить задачу при =10, =5%, =20 лет.

Решение. При

% годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в

раз, т.е. .

Если начислять проценты по вкладам не один раз в год, а

раз, то размер вклада за лет при начислениях составит

.

Тогда размер вклада за

лет при непрерывном начислении процентов ( ) сводится к нахождению предела

.

Здесь при решении использовался второй замечательный предел.

Подставляя исходные числовые данные задачи, получаем

(ден. единиц).

Вопросы для самопроверки

Дайте определение предела функции в точке.

Назовите основные свойства пределов функций.

Какие виды неопределенностей встречаются при нахождении пределов?

Какие пределы называются замечательными?

Какие функции называют бесконечно малыми?

Задачи для самостоятельной работы

Найти пределы следующих функций:

Номер варианта	А)	Б)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Таблица 1.

Тема 2. Производная функции

Приращением функции

в точке , соответствующим приращению аргумента , называется число .

Производной функции

в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует, и обозначается:

.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция

имеет в точке конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Важнейшими правилами дифференцирования являются следующие.

Производная постоянной

равна нулю: .

Постоянный множитель выносится за знак производной

.

Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций

.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго

.

Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле

.

Пусть переменная

есть функция от переменной (например, ), а переменная , в свою очередь, есть функция от независимой переменной ( ), иначе задана сложная функция .