Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 7 из 17)

(3) якщо

й , те

зокрема, якщо

й - розв'язні групи,те

(4)

.

Proof. Нехай

і . Тоді

(1) Нехай

. Тоді ряд

буде нормальним рядом підгрупи

з нильпотентними факторами

По лемі 1.11.

(2) Нехай

і . Тоді ряд

буде нормальним рядом групи

з нильпотентними факторами

По лемі 1.10.

(3) Ясно, що

. Позначимо . Тоді по лемі 1.10, а по індукції

Тому

. Тому що по (1), те маємо

(4) Покладемо

. По лемі 1.2 для неодиничної розв'язної групи маємо й

Тому

.

Наступна теорема належить К. Дерку.

Теорема 1.13. Якщо

- максимальна підгрупа розв'язної групи , те , де .

Приклад. Скористаємося індукцією один по одному групи

. Нехай - мінімальна нормальна підгрупа групи . Якщо , то й , де . Тому можна припустити, що всі мінімальні нормальні підгрупи групи втримуються в. Якщо група містить дві різні мінімальні нормальні підгрупи, те й по індукції

Оскільки

те теорема справедлива. Отже, можна вважати, що група

містить у точності одну мінімальну нормальну підгрупу. Якщо , то по лемі 1.12 і знову

Оскільки

те знову теорема справедлива.

Отже, можна вважати, що

й по наслідку 1.6. По індукції

Якщо

, то твердження справедливо. Нехай , тобто . Уважаємо, що - -група. Тоді - -група. Нехай . Якщо , то й , тому

і теорема справедлива.

Залишається випадок, коли

. Тому що - -підгрупа, те

причому

- -група. Протиріччя.

Приклад 1.14.

Всі три значення

в теоремі 1.13 мають місце. Значення виконується на будь-який нильпотентною неодиничній групі. Значення виконується на групі з максимальною підгрупою . Значення виконується на групі , у якої силовська -підгрупа максимальна.

Якщо факторгрупа

нильпотентна, то групу називають метанильпотентною.

Теорема 1.15. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

(2) У розв'язної ненильпотентною групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.

Proof. Позначимо через

перетинання всіх максимальних підгруп групи , що не містить , а через перетинання максимальних підгруп групи , що містять . Ясно, що підгрупи й характеристичні в групі й