Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 6 из 17)

Нехай тепер

і По лемі 1.2(2) Тому що те для твердження вже доведене.

Наслідок 1.6. У розв'язній групі з одиничною підгрупою Фратіні підгрупа Фиттинга є прямий добуток мінімальних нормальних підгруп.

Теорема 1.7. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Proof. Нехай

По наслідку 4.9, с. 35, підгрупа

нормальна в. Якщо

головний ряд групи

, те

нормальний ряд групи

. Тому що підгрупа втримується в кожній підгрупі , те

для

. По теоремі 4.10, с. 35, підгрупа нильпотентна, тому .

Перевіримо зворотне включення. Нехай

- головний фактор групи . Тому що

те по лемі 4.11, с. 35, або

або

У першому випадку

, тому

У другому випадку з нильпотентності підгрупи

по лемі 1.2 одержуємо, що

Знову

. Таким чином, і .

Лема 1.8.

.

Proof. Нехай

. Ясно, що й . Тому що

те

й ізоморфна нормальної нильпотентною підгрупі групи . Тому

Нехай

- група й нехай

Ясно, що

У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фиттинга відмінна від одиничної підгрупи по лемі 1.2. Тому для розв'язної групи існує натуральне

таке, що .

Нильпотентною довжиною розв'язної групи

називають найменше , для якого . Нильпотентну довжину розв'язної групи позначають через . Таким чином, якщо група розв'язна й , те

Тому побудований ряд нормальний і його фактори

нильпотентни.

Ясно, що

тоді й тільки тоді, коли група нильпотентна.

Приклад 1.9.

.

Непосредсвенно з визначення нильпотентною довжини випливає

Лема 1.10. Нехай

- розв'язна група. Тоді:

(1)

;

(2)

.

Лема 1.11. (1) Якщо

- розв'язна група, то довжина будь-якого нормального ряду групи з нильпотентними факторами не менше, ніж .

(2) Нильпотентна довжина розв'язної групи збігається з довжиною самого короткого нормального ряду з нильпотентними факторами.

Proof. (1) Застосуємо індукцію один по одному групи

. Нехай

нормальний ряд групи

з нильпотентними факторами. Тому що - нормальна нильпотентна підгрупа групи , те й . Тут . Факторгрупа має порядок менше, ніж порядок групи й володіє поруч

де

. Ясно, що це нормальний ряд, його довжина і його фактори

нильпотентни. По індукції

й .

(2) треба з (1).Лема 1.12. Нехай

- розв'язна група. Тоді:

(1) якщо

, те ;

(2) якщо

, те ;