Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 5 из 17)

(2) Якщо

, те - нильпотентна нормальна в підгрупа по теоремі 4.3, с. 35, тому й

Зворотне включення треба з визначення підгрупи Фиттинга.

(3) Для мінімальної нормальної підгрупи

або , або . Якщо , то

Якщо

, то - елементарна абелева -група для деякого простого . Тому що , те . З іншого боку, по теоремі 4.4, с. 35, тому .

Теорема 1.3.

для кожного . Зокрема, якщо розв'язно, те

Proof. Нехай

, . Тому що по лемі 4.5, с. 35, те . Припустимо, що для деякого й нехай

Ясно, що

й Нехай - силовська -підгрупа групи . Тому що

-група, те , а оскільки , те й . Тепер, - нильпотентна нормальна підгрупа групи й . Таким чином, і перше твердження доведене. Якщо розв'язно, то розв'язно, тому й .

Говорять, що підгрупа

групи доповнюємо в , якщо існує така підгрупа , що й . У цьому випадку підгрупу називають доповненням до підгрупи в групі

Теорема 1.4. Якщо

- нильпотентна нормальна підгрупа групи й , те дополняема в.

Proof. За умовою

а по теоремі 4.6, с. 35, комутант . По теоремі 4.7, с. 35, підгрупа Фратіні а за умовою Тому й абелева. Нехай - додавання до в. По лемі 4.8, с. 35, Оскільки й те й по теоремі 4.7, с. 35,

Отже,

і - доповнення до в.

Теорема 1.5. Факторгрупа

є прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи .

Proof. Припустимо спочатку, що

й позначимо через підгрупу Фиттинга По теоремі 4.6 комутант Але значить по теоремі 4.7, с. 35. Тому й абелева. Нехай - прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи найбільшого порядку. Тоді й по теоремі 1.4 існує підгрупа така, що По тотожності Дедекинда Але абелева, тому а тому що , те На вибір перетинання й