Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 16 из 17)

4. Використовувані результати

Лема 4.1. Нехай

. Тоді:

(1) якщо

, , те ;

(2) якщо

, , те .

Наслідок 4.2. Якщо

нильпотентна, те нильпотентна.

Теорема 4.3. Нехай

, і . Якщо нильпотентна, то нильпотентна.

Теорема 4.4. (1) Центр

неодиничної нильпотентною групи відмінний від одиниці й .

(2) У нильпотентною групі кожна власна підгрупа відмінна від свого нормализатора.

(3) У нильпотентною групі

перетинання неодиничної нормальної підгрупи із центром групи відмінно від одиниці й .

Лема 4.5. Нехай

- нормальна підгрупа групи . Тоді:

(1) якщо

, те й ;

(2) якщо

, те й ;

(3)

;

(4)

.

Теорема 4.6. Група нильпотентна тоді й тільки тоді, коли її комутант утримується в підгрупі Фратіні.

Теорема 4.7. Нехай

. Тоді:

(1)

;

(2)

;

(3) якщо

, те ;

(4) якщо

й , те .

Лема 4.8. Тоді й тільки тоді підгрупа

є додаванням до нормальної підгрупи в групі , коли й .

Наслідок 4.9. (1) Якщо

- головний фактор кінцевої групи , те й

(2) Якщо

- головний фактор порядку кінцевої групи , те - циклічна група порядку, що ділить .

Теорема 4.10. (1) Якщо існує натуральне число

таке, що , то група нильпотентна.

(2) Щабель нильпотентності нильпотентною групи

є найменше натуральне число , для якого

Лема 4.11. Нехай

. Тоді:

(1) якщо

, те або , або й ;

(2) якщо

абелева й для деякої власної підгрупи групи , те ;

(3) якщо

й , те .

Висновок

У даній дипломній роботі викладені основи теорії нильпотентної довжини кінцевої розв'язної групи, проведене дослідження величини нильпотентної довжини кінцевих розв'язних груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп. У роботі розглянуті наступні питання: підгрупа Фиттинга кінцевої розв'язної групи і її властивості; нильпотентна довжина й інші інваріанти кінцевої розв'язної групи; ознаки можливості розв'язання кінцевої групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп; знаходження величини нильпотентної довжини розв'язної групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп.

У першому розділі "Підгрупа Фиттинга і її властивості" вивчені властивості підгрупи Фиттинга. Доведено теореми К. Дерка й Монахова В.С.

У другому розділі "

- довжина -розв'язної групи" дані необхідні визначення й доведене теорема.

У главі "Група з нильпотентними додаваннями до підгруп" доведена важлива теорема:

Теорема. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп ізоморфна

або , де - нильпотентна група, а й - прості числа.

Також доведений наслідок із цієї теореми.

Наслідок. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу понад розв'язні, ізоморфна

або , де - - група, або , де - -група.