Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 14 из 17)

а

Тут

і - 'елементарна абелева й циклічна підгрупи порядку . З теореми 2.10 [15] одержуємо, що - простої число.

У випадку, коли

й - прості числа в простій групі , кожна несверхразрешима підгрупа ізоморфна групі . Остання підгрупа має в циклічне доповнення . Тому група у випадку, коли й - прості числа, задовольняє умові теореми.

Перевіримо, що група

не задовольняють умові теореми. Нехай

Відомо, що

- нормальна в підгрупа, а - циклічна група порядку . Для силовської -підгрупи з маємо

Тепер

Оскільки

й - прості числа, то в існує підгрупа порядку . Для підгрупа -замкнута, і зовнішній автоморфізм не централізує силовскую -підгрупу, тому несверхразрешима. Тому що в немає нильпотентною підгрупи порядку , то не задовольняє умові теореми при . Якщо , то в для підгрупи Шмидта, ізоморфній знакозмінній групі ступеня , повинна найтися нильпотентна підгрупа порядку, що ділиться на . Але такий нильпотентною підгрупи в немає.

Отже, якщо

, те ізоморфна , де й - прості числа.

Нехай тепер

. Припустимо, що не є мінімальною нормальною в підгрупою, і нехай - мінімальна нормальна в підгрупа, що втримується в. По індукції, , де - нильпотентна, а ізоморфна або . Тому що , те - власна в підгрупа, і для її прообразу в групі по індукції одержуємо, що , де або . Підгрупа характеристична в , а нормальна в , тому нормально в. Тому що

те

Оскільки для несверхразрешимої підгрупи

з існує нильпотентна підгрупа така, що , те