Решение игры в смешанных стратегиях 2 (стр. 5 из 5)
X5
X6
| x0 | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | ||
| X4 | 4/5 | 0 | 19/5 | 13/5 | 1 | -1/5 | 0 | 4/19 |
| X1 | 1/5 | 1 | 1/5 | 2/5 | 0 | 1/5 | 0 | |
| x6 | 1 | 0 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1/4 |
| f | 1/5 | 0 | -4/5 | -3/5 | 0 | 1/5 | 0 |
Вторую таблицы рассчитаем аналогичным способом.
| x0 | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | |
| x2 | 4/19 | 0 | 1 | 13/19 | 5/19 | -1/19 | 0 |
| X1 | 3/19 | 1 | 0 | 5/19 | -1/19 | 4/19 | 0 |
| x6 | 3/19 | 0 | 0 | -23/19 | -20/19 | 4/19 | 1 |
| f | 7/19 | 0 | 0 | -1/19 | 4/19 | 3/19 | 0 |
Решив симплекс методом матрицу мы получим
X* = (3/19; 4/19; 0)
Y* = (4/19; 3/19; 0)
F(X*) = G(Y*) = 7/19
Из решения двойственных задач получим цену игры и оптимальные стратегии игроков для матрицы А**
Для матрицы А* оптимальный план остается такой же
V = V” – С = 19/7 – 2 = 5/7
Оптимальная стратегия P* и Q* получаются из оптимальных стратегий P*~ и Q*~ приписав нули на место удаленных строк и столбцов.
V = 5/7
Целевая функция равна 7/19
2.5 Проверка пункта 5.4 с помощью надстройки Поиск решения средствами MSExcel. Сформировать и проанализировать результаты решения.
Мною была решена задачи на тему: «Решение игры в смешанных стратегиях», в которой нужно было найти оптимальную стратегию и цену игры, заданной платежной матрицей А с помощью расчетных данных на бумаге и были произведены расчеты в компьютере с помощью надстройки Поиск решения средствами MSExcel. Ответы полученные на бумаге и в компьютере идентифицируемы (равны) друг другу. Следовательно меньше времени уходит на решение если решать на компьютере, чем на бумаге.
Сначала мы вводим данные листе Excel,а потом рассчитываем с помощью надстройки Excel. Эти данные показаны ниже.
Вводимые данные и расчет
| a | b | c | ||
| 1 | 4 | 3 | 1 | 1 |
| 5 | 1 | 2 | 1 | 1 |
| 0 | 4 | 1 | 1 | 16/19 |
| 1 | 1 | 1 | Целевая функция | |
| x1 | x2 | x3 | 7/19 | |
| 3/19 | 4/19 | 0 |
Результат проверки:
| Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам | |||
| Рабочий лист: [Дроздов.xls]Лист1 | |||
| Отчет создан: 13/5/2008 | |||
| Целевая ячейка (Максимум) | |||
| Ячейка | Имя | Исходное значение | Результат |
| $F$7 | x3 Целевая функция | 0 | 7/19 |
| Изменяемые ячейки | |||
| Ячейка | Имя | Исходное значение | Результат |
| $B$8 | x1 | 0 | 3/19 |
| $C$8 | x2 | 0 | 4/19 |
| $D$8 | x3 | 0 | 0 |
| Ограничения | |||
| Ячейка | Имя | Значение | Формула |
| $F$4 | 1 | $F$4<=$E$4 | |
| $F$3 | 1 | $F$3<=$E$3 | |
| $F$5 | 16/19 | $F$5<=$E$5 | |
| $B$8 | x1 | 3/19 | $B$8>=0 |
| $C$8 | x2 | 4/19 | $C$8>=0 |
| $D$8 | x3 | 0 | $D$8>=0 |
2.6 Проверка оптимальности найденного решения критерием оптимальности стратегии
Стратегия P* и Q* называется оптимальной, а число V – цена игры если справедливо неравенство M (P,Q*) ≤ V≤ M (P*,Q), где P и Q – произвольные стратегии.
Критерий оптимальности стратегий.
Для того что бы P* и Q* были оптимальными стратегиями соответствующих игроков, а число V было ценой игры необходимо и достаточно что б выполнялось неравенство M (Pi,Q*) ≤ V≤ M (P*,Qi).
Теорема Джона фон Неймана (основная).
Любая матричная игра имеет решение т.е. существуют оптимальные стратегии и цена игры.
Седловой точкой называется Аij, которая является наименьшим элементом в своей строке и наибольшим элементом в столбце.
Если матрица имеет седловую точку, то игра имеет решение в чистых стратегиях. Если Седловых точек нет, то одна из оптимальных стратегий будет смешана.
Если одна из компонент стратегий равна 1, то остальные нулю, то стратегия называется чистой в противном смешанной.
Доминирующая строка – все элементы этой строки не превосходят соответствующих элементов другой строки.
Доминирующий столбец – все элементы не меньше соответствующих элементов какого-либо другого столбца.
Делаем проверку
P1 = (1, 0, 0)
P2 = (0, 1, 0)
P3 = (0, 0, 1)
Q1 = (1, 0, 0, 0)
Q2 = (0, 1, 0, 0)
Q3 = (0, 0, 1, 0)
Q4 = (0, 0, 0, 1)
M (P*,Q1) =
M (P1,Q*) =
M (P1,Q*) ≤ V ≤ M (P*,Q1)
5/7 ≤ 5/7 ≤ 11/7
M (P*,Q2) =
M (P2,Q*) =
M (P2,Q*) ≤ V ≤ M (P*,Q2)
5/7 ≤ 5/7 ≤ 5/7
M (P*,Q3) =
M (P3,Q*) =
M (P3,Q*) ≤ V ≤ M (P*,Q3)
2/7 ≤ 5/7 ≤ 5/7
В результате проведенной работы проанализирована литература по данной теме и решение задачи. В моем курсовом проекте нужно решить игру в смешанных стратегиях и сделать проверку. Исходные данные: платежная матрица, найти оптимальную стратегию и цену игры. Данную задачу можно решить при помощи математических методов. Что бы решить ее нужно построить математическую модель и решить эту модель симплексы методом (максимум). Я построил математическую модель. Так же решал симплекс метод при помощи компьютера (MSExcelПоиск решения) и на бумаге. Сделав анализ, что меньше времени уходит на решение, если решать на компьютере, чем на бумаге Все данные сошлись, а так же сошлась и проверка при помощи Поиск решения..
Цена игры равна 1, а оптимальный план равен P* и Q*
Поставленная задача была мною решена.
1. А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер, «Информатика»: Учеб. пособие для студ. пед. вузов,Под ред. Е.К. Хеннер –М.: изд. Центр «Академии »,2000
2. Н.Ш. Кример, Б.А. Путков , М.Н. Фридман, «Исследовательские операции в экономики»: Учеб. пособие для вузов, Под ред проф. Н.Ш. Кример-М.: Юнити, 2006
3. И.К Волков, Е.А Загоруйко, «Исследовательские операции»: Учеб. для вызов 2-е издание, Под ред В.С. Зарубина , А.П. Кришенко –М.: Из-во МГТУ ими Н.Э.Баумана 2002
4. Элементы теории игр. Учеб. пособие для студ. -1 изд., стер-М.: Высш. шк., 1999
5. Под ред. В.И. Ермакова, «Сборник задач по высшей математике для экономистов»: Учеб. пособие, Москва: ИНФА-М, 2002
6. Конспект по дисциплине «Математические методы»
7. Е.С. Вентцель, «Элементы теории игр», Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1961