Частные производные 2 (стр. 4 из 6)
Для ответа на вопрос задачи 3 достаточно положить a=e, b=p и воспользоваться утверждением (1). Итак, ep > pe .
Пример 16: Два туриста отправились по одному маршруту. В первый день они прошли одно и то же расстояние. В каждый из следующих дней первый турист увеличивал пройденный путь, по сравнению предыдущим, на одно и то же расстояние, а второй – в одно и то же число раз. Выяснилось, что в n-тый день (n>2) путешествия туристы снова прошли одно и то же расстояние. Доказать, что за n дней первый турист прошел путь больший, чем второй.
Решение:
Расстояние, пройденное первым туристом за n дней, представляет собой сумму n первых членов арифметической прогрессии, а вторым – сумму n первых членов геометрической прогрессии. Обозначим эти расстояния соответственно Snи Sn/. Если a – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии, q – знаменатель геометрической прогрессии, то
Приравнивая n-е члены прогрессий, находим
Тогда
, где q>1 (по условию задачи). Задача будет решена, если мы покажем, что 
, где n>2, q>1 (2)При n=3 имеем
, что равносильно очевидному неравенству 
. Предполагая, что неравенство (2) справедливо при n=k, докажем его для n=k+1. Имеем 
Для завершения доказательства достаточно убедиться, то выражение
при k>2. Здесь целесообразно обратиться к производной.Пусть
Производная
положительная при x>1. Поэтому функция fпри x>1 возрастает. Так как f(1)=0 и функция f непрерывна в точке x=1, то f(x)>0 при x>1, т.е. f(q)>0. Итак, Sn>Sn/.3.2. Практическое применение производной при решении уравнений
Покажем, как с помощью производной можно решать вопросы существования корней уравнения, а в некоторых случаях и их отыскания. По-прежнему основную роль здесь будут играть исследования функции на монотонность, нахождение ее экстремальных значений. Кроме того, будет использован ряд свойств монотонных и непрерывных функций.
Свойство 1. Если функция f возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке равнение f(x)=0 имеет не более одного корня.
Это утверждение вытекает непосредственно из определения возрастающей и убывающей функций. Корень уравнения f(x)=0 равен абсциссе точки пересечения графика функции y=f(x) с осью x.
Свойство 2. Если функция f определена и непрерывна на промежутке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, то между a и b найдется точка c, в которой f(c )=0.
Пример 17: Решить уравнение
Решение:
Заметим, что
является корнем уравнения. Докажем, что других корней это уравнение не имеет. Исследуем функцию f, где 
, на монотонность. Производная 
. Установим промежутки, на которых функция 
сохраняет знак. Для этого исследуем ее на монотонность. Производная 
. Так как при 
, то 
при . Следовательно, функция возрастает при положительных значениях x; 
. Поэтому 
при . В силу четности функции 
она принимает положительные значения при всех 
. Следовательно, f возрастает на всей числовой оси. Согласно свойству 1, уравнение 
имеет не более одного корня. Итак, – единственный корень уравнения.Пример 18: Решить систему уравнений
Решение:
Система эквивалентна следующей:
Из первого уравнения следует, что
, из второго – 
. Выразим из первого уравнения x через y: 
, 
. Тогда 
. положив 
, получим 
или 
. Производная функции f, где 
, равна 
.Она отрицательна при всех значениях t. Таким образом, функция f убывает. Поэтому уравнение
имеет не более одного корня. Заметим, что 
является его корнем. Итак, 
единственное решение системы.Пример 19: Доказать, что уравнение
имеет единственный корень, лежащий в интервале 
.Решение:
Уравнение равносильными преобразованиями приводится к виду
, где 
. Функция f возрастающая, так как 
при всех 
. Согласно свойству 1, уравнение имеет не более одного решения. Функция f непрерывна, кроме того, 
, 
. В силу свойства 2 уравнение на интервале 
имеет корень.В примере требовалось доказать, что корень уравнения принадлежит некоторому промежутку. Мы пользовались свойством 2 непрерывной на отрезке функции, принимающей на концах этого отрезка значения разных знаков. Этот путь не всегда приводит к цели при решении подобных задач. Иногда целесообразно воспользоваться следующим свойством дифференцируемых функций.
Свойство 3 (Теорема Ролля). Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и f(a)=f(b), то существует точка
такая, что 
.На геометрическом языке свойство 3 означает следующее: если
, то на графике кривой 
найдется точка С с координатами 
, где касательная к графику параллельна оси x.Пример 20: Доказать, что уравнение
при 
, 
имеет не более одного действительного корня.