Частные производные 2 (стр. 2 из 6)

По правилу дифференцирования сложной функции (означая штрихом производную по u) имеем:

и отсюда

Пример 7: Сторона a треугольника определяется по двум другим сторонам b, c и заключенному между ними углу a так:

.

Тогда

2.2. Геометрический смысл частных производных

Для большей геометрической наглядности и для того, чтобы не вводить новых понятий, в этом пункте ограничимся рассмотрением функций двух переменных.

Рассмотрим функцию z= f(x, у), определенную на плоском открытом множестве G, т. е. множестве G, лежащем на плоскости Е².

Пусть (x₀, у₀)

Gи пусть в точке (х₀, у₀) существует частная производная

. Ее геометрический смысл сразу получается из определения частной

производной

как обычной производной функции f(x, у) по х при

фиксированном у и из геометрического смысла обычной производной.

График 1 – геометрический смысл частных производных.

В самом деле, возьмем замкнутый круг Qрадиуса rс центром в точке (x₀, у₀) и лежащий в G*. Пусть

- кривая, заданная представлением

т. е. кривая, которая получается сечением графика функции z= f(x, у), (х,y)

Qплоскостью

=y₀.

* Такой круг Qвсегда существует. Действительно, в силу определения открытого множества существует такая

-окрестность Oточки (х₀, у₀), что О

G. Тогда замкнутый круг Qрадиуса

с центром в точке (х₀, у₀) будет заведомо лежать в G.

Как известно,

где

- угол, образованный касательной к графику функции f(х, у₀) в точке (х₀, f(x₀, у₀)) с осью Ох, т. е. угол, образованный касательной к кривой в точке (x₀, у₀,f(х₀, у₀)) с осью Ох.

Таким образом,

- в этом состоит геометрический смысл частной производной.

Совершенно аналогично устанавливается и геометрический смысл частной производной

тангенса угла наклона, образованного касательной в точке (х₀, f(x₀, у₀)) к кривой, образованной сечением графика функции z=f(x, у), (х,y)

Qплоскостью х=х₀, с осью Оу.

2.3. Частные производные высших порядков

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции

двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами:

,

,

,

.

Частные производные

и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка.

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков.

Пример 8: Найти частные производные второго порядка функции

.

Имеем:

, ,,

, , , .

Здесь

= . Оказывается, имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Смешанные производные второго порядка (они отличаются друг от друга порядком дифференцирования) равны между собой (при условии их непрерывности в рассматриваемой точке).

Пример 9: Дана функция

. Доказать, что .

Решение:

Приводя подобные члены , убеждаемся, что

.

Пример 10: Найти все вторые частные производные функции

.

Решение:

Пример 11: Нейдем вторые частные производные функции z=х³у²+2х²у-6. Имеем:

Смешанные производные равны между собой.

Замечание 1. Четыре частных производных второго порядка в силу теоремы 1 сводятся к трем:

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка (или третьими частными производными) и обозначаются

, (чистые производные), , , и т.д. (смешанные производные) или и т.д.

Теорема 2: Смешанные производные третьего порядка, отличающиеся друг от друга лишь порядком дифференцирования, равны между собой (при условии их непрерывности в рассматриваемой точке).