Математические последовательности Предел функции (стр. 1 из 2)

Задание 1

Вычислите

и последовательности .

Решение.

Рассмотрим последовательность

.

для любого натурального

Следовательно, множество

является ограниченным сверху. Это означает, что последовательность имеет верхнюю точную грань: .

Следовательно, множество

не является ограниченным снизу. Это означает, что нижняя грань последовательности не существует.

Ответ.

не существует

Задание 2

Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что

.

Доказательство.

Число

называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует номер такой, что при выполняется неравенство .

Используя определение предела последовательности, докажем, что

.

Возьмем любое число

.

Если взять

, то для всех будет выполняться неравенство . Следовательно, .

Доказано

Задание 3

Пользуясь определением предела функции, докажите, что

.

Доказательство

Число

называется пределом функции при , если для любого числа существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Используя определение предела функции, докажем, что

.

Возьмем любое

.

Положим

.

Если взять

, то для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Следовательно, .

Доказано.

Задание 4

Вычислите предел

.

Решение.

Ответ.

Задание 5

Вычислите предел

.

Решение.

Ответ.

Задание 6

Вычислить предел

.

Решение.

Ответ.

Задание 7

Вычислить предел

.

Решение.

Ответ.

Задание 8

Вычислить предел

.

Решение

Ответ.

Задание 9

Вычислить предел

.

Решение.

Ответ.

Задание 10

Вычислить предел

.

Решение.

Ответ.

Задание 11

Вычислить предел

.

Решение.

Ответ.

Задание 12

Вычислить предел

.

Решение.

Ответ.

Задание 13

Вычислить предел

.

Решение.

Ответ.

Задание 14

Вычислить предел

.

Решение.

при функция является бесконечно малой