В тех случаях, когда функции f и gi, в задаче (0.1)—(0.2) хотя бы дважды дифференцируемы, можно применять классическиеметоды оптимизации. Однако применение этих методов в исследовании операций весьма ограниченно, так как задача определения условного экстремума функции я переменных технически весьма трудна: метод дает возможность определить локальный экстремум, а из-за многомерности функции определение ее максимального (или минимального) значения (глобального экстремума) может оказаться весьма трудоемким — тем более, что этот экстремум возможен на границе области решений. Классические методы вовсе не работают, если множество допустимых значений аргумента дискретно или функция Z задана таблично. В этих случаях для решения задачи (0.1)—(0.2) применяются методы математического программирования.
Если критерий эффективности Z = f(x1, х2, ..., xn)(0.2) представляет линейную функцию, а функции gi(х1, х2, х3,..., хn)в системе ограничений (0.1) также линейны, то такая задача является задачей линейного программирования. Если, исходя из содержательного смысла, ее решения должны быть целыми числами, то эта задача целочисленного линейного программирования. Если критерий эффективности и (или) система ограничений задаются нелинейными функциями, то имеем задачу нелинейного программирования. В частности, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то полученная задача является задачей выпуклого программирования.
Если в задаче математического программирования имеется переменная времени и критерий эффективности (0.2) выражается не в явном виде как функция переменных, а косвенно — через уравнения, описывающие протекание операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.
Если критерий эффективности (0.2) и система ограничений (0.1) задаются функциями вида с*(x1^α1)*(x2^α2)...(xn^αn), то имеем задачу геометрического программирования. Если функции f и (или) gi в выражениях (0.2) и (0.1) зависят от параметров, то получаем задачу параметрического программирования, если эти функции носят случайный характер, — задачу стохастического программирования. Если точный оптимум найти алгоритмическим путем невозможно из-за чрезмерно большого числа вариантов решения, то прибегают к методам эвристическогопрограммирования, позволяющим существенно сократить просматриваемое число вариантов и найти если не оптимальное, то достаточно хорошее, удовлетворительное с точки зрения практики, решение.
Из перечисленных методов математического программирования наиболее распространенным и разработанным является линейное программирование. В его рамки укладывается широкий круг задач исследования операций.
По своей содержательной постановке множество других, типичных задач исследования операций может быть разбито на ряд классов.
Задачи сетевого планирования и управления рассматривают соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций (работ) и моментами начала всех операций комплекса. Эти задачи состоят в нахождении минимальных продолжительностей комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимости и сроков их выполнения.
Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и состоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например, в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.
Задачи управления запасами состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точки заказа) и размера заказа. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, но с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.
Задачи распределения ресурсов возникают при определенном наборе операций (работ), которые необходимо выполнять при ограниченных наличных ресурсах, и требуется найти оптимальные распределения ресурсов между операциями или состав операций.
Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с износом и старением оборудования и необходимостью его замены с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также моментов замены оборудования модернизированным.
Задачи составления расписания (календарного планирования) состоят в определении оптимальной очередности выполнения операций (например, обработки деталей) на различных видах оборудования.
Задачи планировки и размещения состоят в определении оптимального числа и места размещения новых объектов с учетом их взаимодействия с существующими объектами и между собой.
Задачи выбора маршрута, или сетевые задачи, чаще всего встречаются при исследовании разнообразных задач на транспорте и в системе связи и состоят в определении наиболее экономичных маршрутов.
Среди моделей исследования операций особо выделяются модели принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях, изучаемые теорией игр. К конфликтным ситуациям, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные цели, можно отнести ряд ситуаций в области экономики, права, военного дела и т. п. В задачах теории игр необходимо выработать рекомендации по разумному поведению участников конфликта, определить их оптимальные стратегии.
На практике в большинстве случаев успех операции оценивается не по одному, а сразу по нескольким критериям, один из которых следует максимизировать, другие — минимизировать. Математический аппарат может принести пользу и в случаях многокритериальных задач исследования операции, по крайней мере, помочь отбросить заведомо неудачные варианты решений.
Для того чтобы из множества критериев, в том числе и противоречащих друг другу (например, прибыль и расход), выбрать целевую функцию, необходимо установить приоритет критериев. Обозначим f1(x), f2(x), ..., fn(x) (здесь х — условный аргумент). Пусть они расположены в порядке убывания приоритетов. В зависимости от определенных условий возможны в основном два варианта:
• в качестве целевой функции выбирается критерий f1(x), обладающий наиболее высоким приоритетом;
• рассматривается комбинация
f(x) =ω1 *f1(x) +ω2 *f2(x) + …+ωn *fn(x), (0.6)
где ω1 , ω2, …ωn— некоторые коэффициенты (веса).
Величина f(х), учитывающая в определенной степени все критерии, выбирается в качестве целевой функции.
В условиях определенности ωi— числа, fi(x) — функции. В условиях неопределенности fi(x) могут оказаться случайными и вместо fi(x) в качестве целевой функции следует рассматривать математическое ожидание суммы (0.6).
Попытка сведения многокритериальной задачи к задаче с одним критерием эффективности (целевой функцией) в большинстве случаев не дает удовлетворительных результатов. Другой подход состоит в отбрасывании ("выбраковке") из множества допустимых решений заведомо неудачных решений, уступающих другим по всем критериям. В результате такой процедуры остаются так называемые эффективные (или "паретовские") решения, множество которых обычно существенно меньше исходного. А окончательный выбор "компромиссного" решения (не оптимального по всем критериям, которого, как правило, не существует, а приемлемого по этим критериям) остается за человеком — лицом, принимающим решение.
Заключение
В создание современного математического аппарата и развитие многих направлений исследования операций большой вклад внесли российские ученые Л.В. Канторович, Н.П. Бусленко, Е.С. Вентцель, Н.Н. Воробьев, Н.Н. Моисеев, Д.Б. Юдин и многие другие. Особо следует отметить роль академика Л.В. Канторовича, который в 1939 г., занявшись планированием работы агрегатов фанерной фабрики, решил несколько задач: о наилучшей загрузке оборудования, о раскрое материалов с наименьшими потерями, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др. Л.В. Канторович сформулировал новый класс условно-экстремальных задач и предложил универсальный метод их решения, положив начало новому направлению прикладной математики — линейному программированию.
Значительный вклад в формирование и развитие исследования операций внесли зарубежные ученые Р. Акоф, Р. Беллман, Г. Данциг, Г. Кун, Дж. Нейман, Т. Саати, Р. Черчмен, А. Кофман и др.
Методы исследования операций, как и любые математические методы, всегда в той или иной мере упрощают, огрубляют задачу, отражая порой нелинейные процессы линейными моделями, стохастические системы — детерминированными, динамические процессы — статическими моделями и т.д. Жизнь богаче любой схемы. Поэтому не следует ни преувеличивать значение количественных методов исследования операций, ни преуменьшать его, ссылаясь на примеры неудачных решений. Уместно привести в связи с этим шутливо-парадоксальное определение исследования операций, сделанное одним из его создателей Т. Саати, как "искусства давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами".
Литература
1. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов - М.: ЮНИТИ, 2002.
2. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология - М.: Наука, 1980.
3. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. - М.: Машиностроение, 1986.