Природно виникає питання : чи всяке рівняння має корені?
Не всяке рівняння має корені. Але у випадку алгебраїчного рівняння відповідь на це питання позитивна.
Теорема 2 (основна теорема алгебри). Всяка ціла раціональна функція має по крайній мірі один корінь, дійсний або комплексний.
Ця теорема доводиться у вищій алгебрі.
Нехай многочлен має деякий корінь Тоді із наслідка теореми Безу маємо Із основної теореми алгебри випливає, що також має корінь, наприклад, Тоді
і і т.д.
Продовжуючи цей процес виділення лінійних множників, дійдемо до многочлена нульового степеня, тобто деякого фіксованого числа. Це число, очевидно, дорівнює так що будемо мати рівність
(8.14)
Ніяке значення , що відмінне від , не може бути коренем многочлена оскільки ні один із множників в правій частині (8.14) не перетворюється в нуль при
Звідси випливає таке твердження: многочлен степеня не може мати більше, ніж різних коренів.
Якщо в розкладі (8.14) деякі лінійні множники виявляться однаковими, то їх можна об’єднати. І тоді розклад многочлена на множники буде мати вигляд:
При цьому Корінь називається коренем кратності або -кратним коренем, коренем кратності і т.д.
Звідси можна сформулювати наступну теорему.
Теорема 3. Всякий многочлен степеня має рівно коренів (дійсних або комплексних).
Приведемо без доведення ще одну важливу теорему.
Теорема 4. Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь то він має і спряжений корінь
Тоді парі спряжених комплексних чисел буде відповідати квадратний тричлен з дійсними коефіцієнтами
Якщо число є коренем кратності то й число буде коренем кратності і їм буде в розкладі відповідати множник
Таким чином, многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти на множники з дійсними коефіцієнтами першого та другого степеня відповідної кратності:
При цьому