Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам (стр. 6 из 11)

Формула (32), принадлежащая Вилли, представляет собой аналог формулы Шварца для кругового кольца; она приведена в иной форме, например в монографии Н.Ахиезера [7].

а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля (32).

Формула Анри Вилля в форме Н.И.Ахиезера [7].

, (34)

где из (33) следует, что

, где

- положительное действительное число, можно придать более компактную форму, если несколько преобразуем (32), учитывая (33) и замечая, что

можно выразить через

с учетом граничных свойств:

; (35)

Таким образом, интегральная формула (32) с учетом (34) и (35) примет следующий окончательный вид:

, (36)

где с – постоянная.

Формулу (36) можно назвать канонической, компактной и контурной интегральной формулой Анри Вилля для кругового кольца.

б) Функции Вейерштрасса.

В виду важности трех функций Вейерштрасса

для практического применения и простоты реализации на ЭВМ мы рассмотрим следующие варианты представления данных функций [19] - [22]:

(37)

или

(38)

(39)

для действительных нулей

полинома

возможны следующие частные случаи:

где

(41)

где

;

, т.е.

, (44)

где (

(45)

или

(46)

где путь интегрирования не проходит ни через одну вершину сетки периодов, отличную от точки

§4. О некоторых применениях теории конформного

а) Об структурном классе интегральных представлений.

Как известно, интегральное представление аналитических функций ИПАФ давно служит:

– как удобный аппарат для обозримого представления аналитических решений дифференциальных уравнений. Например, специальные функции – функции Бесселя, Эйри, Лежандра, Лагера, Эрмита, многочлены Чебышева, гипергеометрическая функция и многие другие – являются решениями линейных дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами;

– для исследования ассимптотики этих решений и их аналитического продолжения;

– несколько позже – нашли применения для решения граничных задач теории аналитических функций и сингулярных уравнений;

– исследование внутренних и граничных свойств аналитических функций различных классов, а также для решения других, самых разнообразных вопросов математического анализа (интегралы Коши, Пуассона, Шварца, Чизотти и т.п.)

Обширный класс интегральных представлений аналитических функций, используемых для получения и исследования аналитических решений дифференциальных уравнений (АРДУ), описывается общей формулой: