Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам (стр. 5 из 11)

Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду (22), представляющей ее вне окружности:

. (25)

Если в (25)

, то получим теорему Гаусса для внешности окружности:

, (26)

т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть среднее арифметическое значений на граничной окружности.

г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.

Аналитический аппарат, позволяющий гармоническую функцию внутри верхней полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной оси, можно получить из интеграла Пуассона путем преобразования круга

плоскости

на верхнюю полуплоскость

при помощи функции

Граничные значения на окружности

перейдут в граничные значения на вещественной оси и мы получим искомую формулу в виде [1]:

, (

) (27)

Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так просто.

Существует более компактная и эффективная формула – интегральная формула Вилля для кругового кольца [2], [3].

§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле

Пусть в плоскости комплексного переменного

Требуется найти регулярную и однозначную внутри области

Для случая круга аналогичная задача решается известной формулой Шварца Г. (1869г) (п.1)

Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение точки на окружности определяется аргументом

Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы, аналогичной формуле (1).

Основной нашей целью является выяснение того, как скажется на формуле переход от односвязной области к двусвязной.

где интеграл справа берется по окружности радиуса

сделать требуемые предельные переходы, получим:

Это условие, таким образом, необходимо для разрешимости поставленной нами проблемы, и мы должны предположить, что она выполняется.

где с – произвольная вещественная константа,